From Wikipedia, the free encyclopedia
Në matematikë dhe fizikë, një hapësirë vektoriale (e quajtur edhe hapësirë lineare ) është një grup elementët e të cilit, shpesh të quajtur vektorë, mund të mblidhen së bashku dhe të shumëzohen ("shkallëzohen") me numra të quajtur skalarë. Skalarët janë shpesh numra realë, por mund të jenë numra kompleksë ose, në përgjithësi, elemente të çdo fushe. Veprimet e mbledhjes së vektorit dhe shumëzimit skalar duhet të plotësojnë disa kërkesa, të quajtura aksioma vektoriale. Termat hapësirë vektoriale reale dhe hapësirë vektoriale komplekse përdoren shpesh për të specifikuar natyrën e skalarëve: hapësirë koordinative reale ose hapësirë koordinative komplekse .
Hapësirat vektoriale përgjithësojnë vektorët Euklidianë, të cilët lejojnë modelimin e madhësive fizike, si forca dhe shpejtësia, që kanë jo vetëm madhësi, por edhe drejtim e kah. Koncepti i hapësirave vektoriale është themelor për algjebrën lineare, së bashku me konceptin e matricave, të cilat lejojnë llogaritjet në hapësirat vektoriale. Kjo siguron një mënyrë të saktë dhe koncize për manipulimin dhe studimin e sistemeve të ekuacioneve lineare .
Hapësirat vektoriale karakterizohen nga dimensioni i tyre, i cili, përafërsisht, specifikon numrin e drejtimeve të pavarura në hapësirë. Kjo do të thotë se, për dy hapësira vektoriale mbi një fushë të caktuar dhe me të njëjtin dimension, vetitë që varen vetëm nga struktura e hapësirës janë të njëjta (teknikisht hapësirat vektoriale janë izomorfe ). Një hapësirë vektoriale është me dimensione të fundme nëse dimensioni i saj është një numër natyror . Përndryshe, ai është me dimensione të pafundme, dhe dimensioni i tij është një kardinal i pafundëm . Hapësirat vektoriale me dimensione të fundme ndodhin natyrshëm në gjeometri dhe zona të lidhura me to. Hapësirat vektoriale me dimensione të pafundme hasen në shumë fusha të matematikës. Për shembull, unazat polinomiale janë hapësira vektoriale me dimensione të pafundme të numërueshme dhe shumë hapësira funksionesh kanë si dimension kardinalitetin e vazhdimësisë .
Shumë hapësira vektoriale që studiohen në matematikë janë të pajisura edhe me struktura të tjera. Ky është rasti i algjebrave, të cilat përfshijnë zgjerimet e fushës, unazat polinomiale, algjebrat shoqëruese dhe algjebrat Lie . Ky është gjithashtu rasti i hapësirave vektoriale topologjike, të cilat përfshijnë hapësirat funksionale, hapësirat e produkitit të brëndshëm, hapësirat e normuara, hapësirat Hilbert dhe hapësirat Banach .
Në këtë artikull, vektorët janë paraqitur përgjithësisht me shkronja të zeza për t'i dalluar ata nga skalarët. [nb 1]
Një hapësirë vektoriale mbi një fushë F është një grup jo bosh V së bashku me dy veprime binare që plotësojnë tetë aksiomat e renditura më poshtë. Në këtë kontekst, elementët e V quhen zakonisht vektorë, dhe elementët e F quhen skalarë .
Për të pasur një hapësirë vektoriale, tetë aksiomat e mëposhtme duhet të plotësohen për çdo u, v dhe w në V, dhe a dhe b në F . [1]
Aksiomë | Kuptimi |
---|---|
Vetia shoqëruese e mbledhjes së vektorit | u + ( v + w ) = ( u + v ) + w |
Vetia ndërruese i mbledhjes së vektorit | u + v = v + u |
Elementi i identitetit të mbledhjes së vektorit | Ekziston një element 0 ∈ V, i quajtur vektori zero, i tillë që v + 0 = v për të gjithë v ∈ V . |
Elementet e anasjellta të mbledhjes së vektorit | Për çdo v ∈ V, ekziston një element −v ∈ V, i quajtur mbledhës i kundërt i v, i tillë që v + (− v ) = 0 . |
Pajtueshmëria e shumëzimit skalar me shumëzimin e fushës | a ( b v ) = ( ab ) v [nb 3] |
Elementi i identitetit të shumëzimit skalar | 1v= v, ku 1 tregon identitetin shumëzues në F |
Përdasia e shumëzimit skalar në lidhje me mbledhjen e vektorit | a ( u + v ) = a u + a v |
Shpërndarja e shumëzimit skalar në lidhje me mbledhjen e fushës | (a + b ) v = a v + b v |
Kur fusha skalare është numrat realë, hapësira vektoriale quhet hapësirë vektoriale reale . Kur fusha skalare është numrat komplekse, hapësira vektoriale quhet hapësirë vektoriale komplekse . Këto dy raste janë më të zakonshmet, por zakonisht merren parasysh edhe hapësirat vektoriale me skalorë në një fushë arbitrare F. Një hapësirë e tillë vektoriale quhet një hapësirë F - vektoriale ose një hapësirë vektoriale mbi F
Zbritja e dy vektorëve mund të përkufizohet siPasojat e drejtpërdrejta të aksiomave përfshijnë se për çdo dhe marrim këto identitete
Shembulli i parë i një hapësire vektoriale përbëhet nga shigjeta në një plan të fiksuar, duke filluar nga një pikë. Kjo përdoret në fizikë për të përshkruar forcat ose shpejtësitë . Duke pasur parasysh çdo dy shigjeta të tilla, v dhe w, paralelogrami i shtrirë nga këto dy shigjeta përmban një shigjetë diagonale që fillon gjithashtu nga origjina. Kjo shigjetë e re quhet shuma e dy shigjetave dhe shënohet v + w . Në rastin e veçantë të dy shigjetave në të njëjtën vijë, shuma e tyre është shigjeta në këtë vijë, gjatësia e së cilës është shuma ose ndryshimi i gjatësive, nëse shigjetat kanë të njëjtin drejtim apo jo. Një veprim tjetër që mund të bëhet me shigjeta është shkallëzimi: duke pasur parasysh çdo numër real pozitiv a, shigjeta që ka të njëjtin drejtim si v, por zgjerohet ose zvogëlohet duke shumëzuar gjatësinë e saj me a, quhet shumëzim i v me a . Është shënuar av . Kur a është negative, a v përcaktohet si shigjeta që tregon në drejtim të kundërt.
![]() |
![]() |
Një shembull i dytë kyç i një hapësire vektoriale sigurohet nga çiftet e numrave realë x dhe y . (Rendi i përbërësve x dhe y është i rëndësishëm, kështu që një çift i tillë quhet edhe çift i renditur . ) Një çift i tillë shkruhet si (x, y ) . Shuma e dy çifteve të tilla dhe shumëzimi i një çifti me një numër përcaktohet si më poshtë:dhe
Bashkësia e numrave kompleksë C, pra numrat që mund të shkruhen në formën x + iy për numrat realë x dhe y ku i është njësia imagjinare, formojnë një (x + iy) + (a + ib)= (x + a)+ i( y + b) dhe gjithashtu shumëzimi skalar c ⋅ (x + iy) = (c ⋅ x) + i(c ⋅ y) për numrat realë x, y, a, b dhe c .
Funksionet nga çdo bashkësi fikse Ω në një fushë F gjithashtu formojnë hapësira vektoriale, duke kryer mbledhjen dhe shumëzimin skalar për çdo pikë. Kjo do të thotë se shuma e dy funksioneve f dhe g është funksioni dhënë ngadhe në mënyrë të ngjashme për shumëzimin. Hapësira të tilla funksionale hasen në shumë situata gjeometrike, kur Ω është vija reale ose një interval, ose nënbashkësi të tjera të R . Shumë nocione në topologji dhe analizë matematike, të tilla si vazhdimësia, integrueshmëria ose diferencueshmëria janë të mirësjellura në lidhje me linearitetin: shumat dhe shumëfishat skalorë të funksioneve që zotërojnë një veti të tillë ende e kanë atë veti. [2] Prandaj, grupi i funksioneve të tilla janë hapësira vektoriale, studimi i të cilave i përket analizës funksionale .
Sistemet e ekuacioneve lineare homogjene janë të lidhura ngushtë me hapësirat vektoriale. Për shembull, zgjidhjet ejepen me treshe arbitrare sipas koeficientëve dhe Ato formojnë një hapësirë vektoriale: shumat dhe shumëfishat skalorë të treshave të tillë ende plotësojnë të njëjtat raporte të tre variablave; kështu që edhe ato janë zgjidhje. Matricat mund të përdoren për të kondensuar ekuacionet e shumta lineare si më sipër në një ekuacion vektorial, përkatësisht
ku është matrica që përmban koeficientët e ekuacioneve të dhëna, është vektori tregon prodhimin e matricës dhe është vektori zero. Në një mënyrë të ngjashme, zgjidhjet e ekuacioneve diferenciale lineare homogjene formojnë hapësira vektoriale. Për shembull,
jep zgjidhjen ku dhe janë konstante arbitrare, dhe është funksioni natyror eksponencial .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.