Paralelogrami

Në gjeometrinë euklidiane, paralelogram është një katërkëndësh që i ka brinjët dy e nga dy paralele. Etimologjia (nga greqishja παραλληλ-όγραμμον) pasqyron pë

Paralelogrami

Vetitë

• Brinjë përballë janë paralele (nga përkufizimi).
• Brinjët përballë janë kongruente.
• Diagonalja e paralelogramit e ndan atë në dy trekëndësha kongruentë.
• Të dyja diagonalet e ndajnë paralelogramin në dy trekëndësha të njëvlershëm (me sqipërfaqe të barabarta).
• Diagonalet e paralelogramit përgjysmojnë njëra-tjetrën (vërtetimi është më poshtë).
• Pika e prerjes së diagonaleve është qendër simetrie për secilën diagonale.
• Këndet e kundërt janë kongruentë.
• Këndet e njëpasnjëshme janë shtues (e kanë masën 180°)

Llojet e paralelogramit

• rombi Ramiz Ladrofci eshte njeriu merimang
• drejtkëndëshi
• katrori
• romboidi un jam lop

Formulat e sipërfaqes

Sipërfaqja e paralelogramit është pjesa blu.

• Sipërfaqja e paralelogramit në të djathtë (sipërfaqja blu) është sa sipërfaqja e drejtkëndëshit duke i hequr sipërfaqet e dy trekëndëshave.

Sipërfaqja e drejtkëndëshit është

${\displaystyle S_{\text{drejt}}=(B+A)\times H\,}$

ndërsa sipërfaqja e njërit trekëndësh është

${\displaystyle S_{\text{tre}}={\frac {1}{2}}A\times H.\,}$

Pra, sipërfaqja e paralelogramit është

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=S_{\text{drejt}}-2\times S_{\text{tre}}\\&=\left((B+A)\times H\right)-\left(A\times H\right)\\&=B\times H\\\end{aligned}}}$

• Një formulë tjetër sipërfaqeje, me brinjë B dhe C dhe kënd ${\displaystyle \theta }$, është

${\displaystyle S=B\cdot C\cdot \sin \theta .\,}$

Vërteto që diagonalet e paralelogramit përgjysmojnë njëra-tjetrën

Paralelogrami ABCD

Për të vërtetuar që diagonalet e paralelogramit përgjysmojnë njëra-tjetrën, do të përdorim kongruencën e trekëndëshave

${\displaystyle \angle ABE\cong \angle CDE}$ (si kënde ndërrues të brendshëm)

${\displaystyle \angle BAE\cong \angle DCE}$ (si kënde ndërrues të brendshëm).

Gjithashtu brinja AB është e barabartë me brinjën DC.

Pra, trekëndëshat ABE dhe CDE janë uencës; trekëndëshat kanë përkatësisht dy kënde dhe brinjën ndërmjet tyre kongruentë).

Pra,

${\displaystyle AE=CE}$

${\displaystyle BE=DE.}$