Težiščni koordinatni sistem

Težiščni koordinatni sistem (tudi baricentrični koordinatni sistem) je v geometriji koordinatni sistem v katerem je lega točke določena kot masno središče mas, ki se nahajajo v ogliščih simpleksov (trikotnik, tetraeder...). Težiščne koordinate spadajo med homogene koordinate. Koordinate ročke v težiščnem koordinatnem sistemu imenujemo težiščne koordinate.

Sistem težiščnih koordinat je prvi vpeljal nemški matematik in astronom August Ferdinand Möbius v letu 1827.

Definicija

Naj bodo ${\displaystyle {\textbf {x}}_{1}\ldots {\textbf {x}}_{n}}$ oglišča simpleksa v vektorskem prostoru ${\displaystyle A\,}$

in, če za neko točko ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ v ${\displaystyle A\,}$ velja

${\displaystyle (a_{1}+\cdots +a_{n}){\textbf {p}}=a_{1}\,{\textbf {x}}_{1}+\cdots +a_{n}\,{\textbf {x}}_{n}}$ in najmanj eden izmed ${\displaystyle a_{1}+\cdots +a_{n}\,}$ ni enak nič,

V tem primeru lahko rečemo, da so koeficienti ${\displaystyle (a_{1}+\cdots +a_{n})\,}$ težiščne koordinate točke ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ glede na ${\displaystyle x_{1}\cdots x_{n}\,}$.

Oglišča imajo koordinate ${\displaystyle {\textbf {x}}_{1}=(1,0,0,...,0),{\textbf {x}}_{2}=(0,1,0,...,0),\ldots ,{\textbf {x}}_{n}=(0,0,0,...,1)}$.

Težiščnih koordinat ne moremo določiti enolično. Za vsak ${\displaystyle b\,}$, ki ni enak nič, so tudi ${\displaystyle (ba_{1},\cdots ,ba_{n})\,}$ težiščne koordinate za ${\displaystyle p\,}$. Kadar koordinate niso negativne, točka ${\displaystyle P\,}$ leži v konveksni ogrinjači za ${\displaystyle x_{1}\cdots x_{n}\,}$, to pa pomeni, da leži v simpleksu teh točk, ki so oglišča.

Težiščne koordinate v trikotniku

Težiščne koordinate ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}$ nekaterih točk v enakostraničnem (zgoraj) in pravokotnem (spodaj) trikotniku.

Imamo definiran trikotnik ${\displaystyle T\,}$, ki je določen s tremi oglišči ${\displaystyle r_{1}\,}$, ${\displaystyle r_{2}\,}$ in ${\displaystyle r_{3}\,}$. Poljubna točka v trikotniku se lahko napiše kot

${\displaystyle {\textbf {r}}=\lambda _{1}{\textbf {r}}_{1}+\lambda _{2}{\textbf {r}}_{2}+\lambda _{3}{\textbf {r}}_{3},}$

kjer so

• ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\,}$ težiščne koordinate

Za te koordinate velja omejitev

${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1\,}$.

Pretvorba v težiščne koordinate

Imamo dano točko ${\displaystyle r\,}$ (v resnici je to krajevni vektor do dane točke), ki leži znotraj trikotnika in želimo dobiti težiščne koordinate ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\,}$ v tej točki. Za točko moramo izraziti težiščne koordinate v Kartezičnih koordinatah ${\displaystyle (x,y)\,}$ z uporabo oglišč ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}\,}$ kot

${\displaystyle {\begin{matrix}x=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}\\y=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}\\\end{matrix}}\,}$.

Po preureditvi lahko to napišemo kot linearno transformacijo

${\displaystyle {\textbf {T}}\cdot \lambda ={\textbf {r}}-{\textbf {r}}_{3}\,}$

kjer je

• ${\displaystyle \lambda \,}$ je vektor težiščnih koordinat
• ${\displaystyle r\,}$ vektor v kartezičnih koordinatah
• ${\displaystyle T\,}$ matrika, ki ima vrednost

${\displaystyle {\textbf {T}}=\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{3}\\y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{3}\\\end{matrix}}\right)}$.

Ker sta ${\displaystyle r_{1}-r_{2}\,}$ in ${\displaystyle r_{2}-r_{3}\,}$ linearno neodvisna, je matrika ${\displaystyle T\,}$ obrnljiva. To pomeni, da po preureditvi dobimo

${\displaystyle \left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{matrix}}\right)={\textbf {T}}^{-1}({\textbf {r}}-{\textbf {r}}_{3})\,}$.

Iz tega se dobijo težiščne koordinate

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{\det(T)}}={\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\,,}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{\det(T)}}={\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{(y_{3}-y_{1})(x_{2}-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y_{2}-y_{3})}}\,,}$

${\displaystyle \lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}\,}$.

Težiščne koordinate v tetraedru

Težiščni koordinatni sistem se z lahkoto razširi na tri razsežnosti. Simpleks v treh razsežnostih je tetraeder, ki je polieder, ki ima tri trikotne stranske ploskve in štiri oglišča.

Tudi tukaj težiščni sistemdoločimo tako, da ima prvo oglišče koordinate ${\displaystyle \lambda =(1,0,0,0)\,}$.

Tudi tukaj velja

${\displaystyle \left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{matrix}}\right)={\textbf {T}}^{-1}({\textbf {r}}-{\textbf {r}}_{4})\,}$

kjer je

• ${\displaystyle T\,}$ matrika ${\displaystyle 3\times 3\,}$, ki ima obliko

${\displaystyle {\textbf {T}}=\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{4}&x_{2}-x_{4}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{4}&y_{2}-y_{4}&y_{3}-y_{4}\\z_{1}-z_{4}&z_{2}-z_{4}&z_{3}-z_{4}\end{matrix}}\right)}$

Posplošeni težiščni koordinatni sistem

Kadar so težiščne koordinate določene glede na politop (namesto glede na simpleks), dobimo posplošene težiščne koordinate. Še vedno mora veljati

${\displaystyle (a_{1}+\cdots +a_{n})p=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}$

kjer so ${\displaystyle x_{1}\cdots x_{n}\,}$ oglišča politopa.

Zunanje povezave

• Uporaba homogenih težiščnih koordinat v ravninski Evklidski geometriji Arhivirano 2009-09-01 na Wayback Machine. (angleško)
• Zbirka člankov o težiščnem koordinatnem sistemu (angleško)
• Težiščni koordinatni sistem (angleško)