Linearna transformacija

Línearna transformácija (tudi línearni operátor) je značilna vrsta preslikave iz linearne algebre. Pomeni homomorfizem vektorskih prostorov.

Za realno funkcijo s podobnim imenom glej Linearna funkcija.

Naj bosta V in U vektorska prostora nad obsegom O. Preslikava A: V → U je linearna transformacija, če za vsak x in y iz V ter za vsak α iz O velja:

• aditivnost: ${\displaystyle A(x+y)=Ax+Ay\!\,}$
• homogenost: ${\displaystyle A(\alpha x)=\alpha Ax\!\,}$

Linearna preslikava ohranja linearne kombinacije, zato se lahko zgornji lastnosti zapiše tudi kot

${\displaystyle A(\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n})=\alpha _{1}Ax_{1}+\alpha _{2}Ax_{2}+\cdots +\alpha _{n}Ax_{n}}$

Jedro in slika

Jedro in sliko linearne transformacije A: V → U definiramo analogno kot pri homomorfizmih grup:

${\displaystyle \ker(A)=\{\,x\in V:Ax=0\,\}}$

${\displaystyle \operatorname {im} (A)=\{\,Ax:x\in V\,\}}$

Množica ker(A) je podprostor prostora V, im(A) pa podprostor prostora U.

Če V = U, pravimo, da je A endomorfizem. Množica End(V) vseh endomorfizmov iz V v V tvori asociativno algebro nad V z operacijami adicije, kompozicije in množenja s skalarji.

Vsi bijektivni endomorfizmi (avtomorfizmi) tvorijo grupo Aut(V) z operacijo kompozicije.