Kumulanta

Kumulanta n-tega reda slučajne spremenljivke X je v teoriji verjetnosti in statistiki določena z logaritmom funkcije, s pomočjo katere lahko generiramo momente porazdelitve. n-ti odvod je kumulanta n-tega reda. Kumulante se uporabljajo podobno kot momenti verjetnostne porazdelitve. Obe skupini vrednosti sta si po uporabi ekvivalentni. Je pa uporaba kumulant včasih bolj enostavna kot uporaba momentov. Kumulanto n-tega reda označimo s ${\displaystyle \mathbf {\kappa } }$_n.

Definicija

Funkcija, ki omogoča izračunavanje kumulant, se označuje z g(t):

${\displaystyle g(t)=\log(E(e^{tX}))=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\mu t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .}$

n-ti odvod funkcije g(t) je kumulanta n-tega razreda ali

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}&=\mu =g'(0),\\\kappa _{2}&=\sigma ^{2}=g''(0),\\&\vdots \\\kappa _{n}&=g^{(n)}(0).\end{aligned}}}$

Funkcijo je prvi uvedel danski astronom in matematik Thornwald Nicolai Thiele (1838 -1910).

Lastnosti

Invariantnost na premik:

• ${\displaystyle \kappa _{1}(X+c)=\kappa _{1}(X)+c\,}$
• ${\displaystyle \kappa _{n}(X+c)=\kappa _{n}(X)\,}$ za n ≥ 2

kjer je c konstanta

Homogenost:

${\displaystyle \kappa _{n}(cX)=c^{n}\kappa (X)\,}$

Aditivnost:

${\displaystyle \kappa _{n}(X+Y)=\kappa _{n}(X)+\kappa _{n}(Y)\,}$

Kumulante kot funkcije momentov

Navedenih je nekaj povezav med momenti in kumulantami:

${\displaystyle \kappa _{1}=m_{1}=\mu _{1}\,}$

${\displaystyle \kappa _{2}=m_{2}-m_{1}^{2}=\mu _{2}\,}$

${\displaystyle \kappa _{3}=m_{3}-2m_{2}m_{1}+2m_{1}^{3}=\mu _{3}\,}$

${\displaystyle \kappa _{4}=m_{4}-4m_{3}m_{1}-3m_{2}^{2}+12m_{2}m_{1}^{2}-6m_{1}^{4}=\mu _{4}-3\mu _{2}^{2}\,}$

${\displaystyle \kappa _{5}=m_{5}+5m_{1}(6m_{2}^{2}-m_{4})-10m_{3}m_{2}+20m_{3}m_{1}^{2}-60m_{2}m_{1}^{3}+24m_{1}^{5}=\mu _{5}-10\mu _{2}\mu _{3}\,}$

Kumulante nekaterih diskretnih porazdelitev

Izrojena porazdelitev (konstantna slučajna spremenljivka) pri kateri je X = 1. Zanjo velja g '(t) = 1. Prva kumulanta κ₁ = 1, ostale kumulante κ₂, κ₃, … so nič.

Bernoullijeva porazdelitev Če je p = 1, potem velja, da imamo konstantno naključno spremenljivko z X = 1.
Odvod funkcije g(x) je enak g '(t) = ((p ⁻¹−1)•e^−t + 1)⁻¹.

Prvi dve kumulanti sta:

• κ₁ = g '(0) = p in
• κ₂ = g ' '(0) = p•(1 − p) .

Vsako naslednjo kumulanto lahko izračunamo iz obrazca

${\displaystyle \kappa _{n+1}=p(1-p){\frac {d\kappa _{n}}{dp}}.\,}$

Geometrična porazdelitev
Odvod funkcije g(x) je enak g '(t) = ((1 − p)⁻¹•e^−t − 1)⁻¹.

Prvi kumulanti sta

• κ₁ = g '(0) = p⁻¹ − 1,
• κ₂ = g ' '(0) = κ₁•p ^− 1.

Poissonova porazdelitev
Prvi odvod funkcije g(x) je enak g '(t) = μ•et.
Vse kumulante so enake: κ1 = κ2 = κ3 = ...= μ.

Zunanje povezave

• Kumulante na MathWorld (angleško)