Geometrična porazdelitev

Geometrična porazdelitev je diskretna porazdelitev (nezvezna). Poznani sta dve obliki geometrične verjetnostne porazdelitve:

• verjetnostna porazdelitev števila X Bernoullijevih poskusov, ki so potrebni, da pridemo do prvega uspešnega izida
• verjetnostna porazdelitev števila (Y = X – 1) neuspehov pred prvim uspešnim izidom

Negativna binomska porazdelitev
oznaka	${\displaystyle Geometric(p)\!}$
parametri	${\displaystyle 0<p\leq 1}$ verjetnost uspeha (realno število)	${\displaystyle 0<p\leq 1}$ verjetnost uspeha (realno število)
interval	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \}\!}$	${\displaystyle k\in \{0,1,2,3,\dots \}\!}$
funkcija verjetnosti (pdf)	${\displaystyle (1-p)^{k-1}\,p\!}$	${\displaystyle (1-p)^{k}\,p\!}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	${\displaystyle 1-(1-p)^{k}\!}$	${\displaystyle 1-(1-p)^{k+1}\!}$
pričakovana vrednost	${\displaystyle {\frac {1}{p}}\!}$	${\displaystyle {\frac {1-p}{p}}\!}$
mediana	${\displaystyle \left\lceil {\frac {-\log(2)}{\log(1-p)}}\right\rceil \!}$ (not unique if ${\displaystyle -\log(2)/\log(1-p)}$ is an integer)
modus	1	0
varianca	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}\!}$	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}\!}$
simetrija	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}\!}$	${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}\!}$
sploščenost (eksces)	${\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}\!}$	${\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}\!}$
entropija	${\displaystyle {\frac {-(1-p)\log _{2}(1-p)-p\log _{2}p}{p}}\!}$
funkcija generiranja momentov (mgf)	${\displaystyle {\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}\!}$	${\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\!}$
karakteristična funkcija	${\displaystyle {\frac {pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}}\!}$	${\displaystyle {\frac {p}{1-(1-p)\,e^{it}}}\!}$
Opomba:	Za poskuse, ki so potrebni, da pridemo do prvega uspešnega poskusa (1. oblika)	Za neuspešne poskuse, ki so potrebni, da pridemo do prvega uspešnega poskusa (2. oblika)

Prvo obliko geometrične porazdelitve lahko opišemo tudi na naslednji način: Bernoullijev poskus ponavljamo, vsak poskus ima verjetnost p za uspeh. Slučajna spremenljivka X je število poskusov, ki so potrebni za prvi uspeh. Geometrična porazdelitev nam pa opisuje porazdelitev te slučajne spremenljivke.

Obeh oblik geometrične porazdelitve ne smemo zamenjevati. Pred uporabo se je potrebno prepričati katera vrsta geometrične porazdelitve nam v obravnavanem primeru bolj odgovarja.

Če je verjetnost za uspeh pri vsakem poskusu enaka p, potem je verjetnost, da bomo pri k-tem poskusu dosegli uspeh, enaka

${\displaystyle P(X=k)=(1-p)^{k-1}\,p\,}$

kjer je

• ${\displaystyle P(X=k)\!}$ verjetnost, da bo slučajna spremenljivka X pri k-tem poskusu dala uspešen izid
• k je enak 1, 2, 3, …

Podobno je verjetnost , da bomo imeli k neuspehov pred prvim uspehom enaka

${\displaystyle P(Y=k)=(1-p)^{k}\,p\,}$

kjer pa je

• ${\displaystyle P(Y=k)\!}$ verjetnost, da bo za slučajno spremenljivko Y potrebnih k neuspehov pred prvim uspehom
• k = 0, 1, 2, 3, ….

Lastnosti

Funkcija verjetnosti

Funkcija verjetnosti je v prvem primeru enaka

${\displaystyle (1-p)^{k-1}\,p\!}$

v drugem pa

${\displaystyle (1-p)^{k}\,p\!}$

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirno funkcijo verjetnosti lahko za prvo obliko zapišemo kot

${\displaystyle 1-(1-p)^{k}\!}$

za drugo obliko pa kot

${\displaystyle 1-(1-p)^{k+1}\!}$.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

${\displaystyle {\frac {1}{p}}\!}$ za prvo oziroma

${\displaystyle {\frac {1-p}{p}}\!}$ za drugo obliko porazdelitve.

Varianca

Varianca je enaka

${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}\!}$ za prvo obliko porazdelitve in

${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}\!}$ za drugo obliko porazdelitve.

Koeficient simetrije

Koeficient simetrije je enak

${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}\!}$ za prvo obliko porazdelitve in

${\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}\!}$ za drugo obliko.

Sploščenost

Sploščenost je enaka

${\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}\!}$ za prvo obliko,

${\displaystyle 6+{\frac {p^{2}}{1-p}}\!}$ pa za drugo obliko porazdelitve.

Povezave z drugimi porazdelitvami

Negativna binomska porazdelitev

Geometrična porazdelitev Y je posebni primer negativne binomske porazdelitve z r = 1:

${\displaystyle \mathrm {Geometric} (p)=\mathrm {NegBin} (1,p).\,}$.

Eksponentna porazdelitev

Eksponentna porazdelitev je podobna porazdelitev zvezne slučajne spremenljivke.

Zunanje povezave

• geometrična porazdelitev na MathWorld (angleško)

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev