Hipocikloida

Hipocikloida je v geometriji ravninska krivulja, ki nastane z zasledovanjem gibanja stalne točke na obodu manjše krožnice, ki se vrti znotraj večje krožnice. Po nastanku je podobna cikloidi, ki pa nastane z vrtenjem krožnice po premici.

Rdeča krivulja je hipocikloida. Nastane, ko se manjša črna krožnica kotali po notranjosti večje modre krožnice (parametri so: R = 3,0, r = 1,0 in k = 3, kar da deltoido).

Značilnosti

Naj ima manjša krožnica polmer enak ${\displaystyle r\,}$ in večja krožnica ${\displaystyle R=kr\,}$. Parametrične enačbe krivulje so

${\displaystyle x(\theta )=(R-r)\cos \theta +r\cos \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right)}$

${\displaystyle y(\theta )=(R-r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right),}$

ali

${\displaystyle x(\theta )=r(k-1)\cos \theta +r\cos \left((k-1)\theta \right)\,}$

${\displaystyle y(\theta )=r(k-1)\sin \theta -r\sin \left((k-1)\theta \right)\,}$.

Oblika hipocikloida je odvisna od vrednosti parametra ${\displaystyle k\,}$.

• če je ${\displaystyle k\,}$ celo število, je krivulja zaprta in ima ${\displaystyle k\,}$ konic, v katerih ni diferenciabilna. Kadar je ${\displaystyle k=2\,}$, je krivulja premica, krožnice pa imenujemo Cardanove krožnice.
• če je ${\displaystyle k\,}$ racionalno število oblike ${\displaystyle k=p/q\,}$, potem ima krivulja ${\displaystyle p\,}$ konic
• če je ${\displaystyle k\,}$ iracionalno število se krivulja nikoli ne zapre. Pri tem pa izpolni prostor med veliko krožnico in krožnico s polmerom ${\displaystyle R-2r\,}$.

Zgledi

• Zgledi hipocikloid
• 
  k=3 - deltoida
• 
  k=4 - astroida
• 
  k=5
• 
  k=6
• 
  k=2,1
• 
  k=3,8
• 
  k=5,5
• 
  k=7,2

Izpeljane krivulje

• Evoluta hipocikloide je povečana slika same hipocikloide
• Hipocikloida s tremi konicami se imenuje deltoida

Glej tudi

• cikloida
• epicikloida
• hipotrohoida
• epitrohoida
• astroida
• deltoida
• seznam krivulj

Zunanje povezave

• Krivulje višjih stopenj (slovensko)
• Hipocikloida na e-študij Arhivirano 2012-03-18 na Wayback Machine. (slovensko)
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Hypocycloid«. MathWorld.
• Hipocikloide Arhivirano 2011-12-04 na Wayback Machine. (angleško)
• Hipocikloida na MacTutor Arhivirano 2010-12-25 na Wayback Machine. (angleško)
• Hipocikloida (angleško)
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Hypocycloid Involute«. MathWorld.