Vrtnica (tudi rodoneja) je družina krivulj, ki so sinusoide narisane v polarnih koordinatah. Krivulje so si podobne, lahko jih podamo s pomočjo enačbe
![{\displaystyle \!\,r=\cos(k\theta ).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9384dd4c4d7662c31ead1f520252073a8f30bd)
Krivulja vrtnica s 7 listi (k = 7)
Krivulja vrtnica z 8 listi (k=4).
Vrtnice, ki so določene z
, za različne vrednosti k=n/d.
kjer je
celo število, ki določa obliko oziroma število listov, ki jih ima vrtnica, na naslednji način:
listov kadar je
paren
listov kadar je
neparen.
Ime rodoneja je krivulji dal rimskokatoliški duhovnik, filozof, matematik in inženir Luigi Guido Grandi (1671 – 1742) med letoma 1723 in 1728 [1].
- Kadar se
konča z 0,5 (primeri 0,5, 2,5, ….) ima krivulja 4 liste.
- Kadar se
konča z 1/3 ali 5/6 in je večji od 1 (primeri: 1,6666667, 2, 8,333333, …..) ima krivulja 12k listov
- Kadar se
konča z 1/3 in je večji od 1 (primeri: 1,33334, 2,333334, ….) ima krivulja obliko vrtnice ter
- ima 3k listov, če je
paren
- ima 6k listov, če je
neparen
- Kadar se
konča z 2/3 in je večji od 1 (primeri: 1,6666667, 2,66666667, …..) ima krivulja obliko vrtnice ter
- ima 6k listov, če je
paren
- ima 3k listov, če je
neparen
- Kadar je
racionalno število je krivulja zaprta in ima končno dolžino.
- kadar pa je
iracionalno število, je krivulja zaprta in ima neskončno dolžino.
- Kadar je
paren, se bo krivulja izrisala točno enkrat, med tem, ko se bo
povečal od 0 do
.
Če ima krivulja enačbo
![{\displaystyle r=a\cos(k\theta )\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d7f7f18e4de587d12b12ccf03aa323114eaff5a)
kjer je
pozitivno celo število, je za paren ![{\displaystyle k\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5665cb00a844c1c6a671c119c6e4984d28fb851)
ploščina enaka
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f45a41c3f8cef6806da7612603ec72a8e726ec9)
in je za neparen
enaka
.
To velja tudi za vrtnice, ki so določene z enačbo
.