Vektorski potencial

Véktorski potenciál je v vektorski analizi vektorsko polje, katerega rotor je dano vektorsko polje. To je analogno skalarnemu potencialu, ki je skalarno polje, katerega gradient je dano skalarno polje.

Ta članek govori o splošnem konceptu matematične teorije vektorskih polj. Za vektorski potencial v elektromagnetizmu glej magnetni vektorski potencial. Za vektorski potencial v mehaniki tekočin glej funkcija toka.

Formalno je glede na dano vektorsko polje ${\displaystyle \mathbf {\vec {v}} \!\,}$ vektorski potencial ${\displaystyle C^{2}\!\,}$ vektorsko polje ${\displaystyle \mathbf {\vec {A}} \!\,}$ tako, da velja:

${\displaystyle \mathbf {\vec {v}} =\nabla \times \mathbf {\vec {A}} \!\,.}$

Posledica

Če vektorsko polje ${\displaystyle \mathbf {\vec {v}} \!\,}$ dopušča vektorski potencial ${\displaystyle \mathbf {\vec {A}} \!\,}$, potem iz enakosti:

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {\vec {A}} )=0\!\,}$

(divergenca rotorja je enaka nič) sledi:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {\vec {v}} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {\vec {A}} )=0\!\,,}$

kar pomeni, da mora biti ${\displaystyle \mathbf {\vec {v}} \!\,}$ solenoidalno vektorsko polje.

Izrek

Naj je:

${\displaystyle \mathbf {\vec {v}}$ :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}\!\,}

solenoidalno vektorsko polje, ki je dvakrat zvezno odvedljivo. Privzame se, da ${\displaystyle \mathbf {\vec {v}} (\mathbf {\vec {x}} )\!\,}$ narašča vsaj tako hitro kot ${\displaystyle 1/\|\mathbf {\vec {x}} \|\!\,}$ za ${\displaystyle \|\mathbf {\vec {x}} \|\to \infty }$. Naj je po definiciji:

${\displaystyle \mathbf {\vec {A}} (\mathbf {\vec {x}} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {\vec {v}} (\mathbf {\vec {y}} )}{\left\|\mathbf {\vec {x}} -\mathbf {\vec {y}} \right\|}}\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {\vec {y}} \!\,.}$

Potem je ${\displaystyle \mathbf {\vec {A}} \!\,}$ vektorski potencial za ${\displaystyle \mathbf {\vec {v}} \!\,}$, oziroma:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {\vec {A}} =\mathbf {\vec {v}} \!\,.}$

Tu je ${\displaystyle \nabla _{y}\times \!\,}$ rotor za spremenljivko ${\displaystyle y\!\,}$. Če se zamenja ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {\vec {v}} \!\,}$ (${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {\vec {v}} \!\,}$) za gostoto toka ${\displaystyle j\!\,}$ retardiranega potenciala, se dobi ta formula. Z drugimi besedami, ${\displaystyle \mathbf {\vec {v}} \!\,}$ ustreza jakosti magnetnega polja ${\displaystyle \mathbf {\vec {H}} \!\,}$.

Integralno domeno se lahko omeji na katero koli enojno povezano območje ${\displaystyle \Omega \!\,}$. To pomeni, da je ${\displaystyle \mathbf {\vec {A'}} \!\,}$ spodaj tudi vektorski potencial ${\displaystyle \mathbf {\vec {v}} \!\,}$:

${\displaystyle \mathbf {\vec {A'}} (\mathbf {\vec {x}} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {\vec {v}} (\mathbf {\vec {y}} )}{\left\|\mathbf {\vec {x}} -\mathbf {\vec {y}} \right\|}}\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {\vec {y}} \!\,.}$

Posplošitev tega izreka je Helmholtzev razstavitveni izrek, ki pravi, da je mogoče vsako vektorsko polje razstaviti kot vsoto solenoidalnega vektorskega polja in potencialnega vektorskega polja.

Po analogiji z Biot-Savartovim zakonom se ${\displaystyle {\boldsymbol {A''}}({\textbf {x}})\!\,}$ prav tako kvalificira kot vektorski potencial za ${\displaystyle \mathbf {\vec {v}} \!\,}$:

${\displaystyle \mathbf {\vec {A''}} (\mathbf {\vec {x}} )=\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {\vec {v}} (\mathbf {\vec {y}} )\times (\mathbf {\vec {x}} -\mathbf {\vec {y}} )}{4\pi |\mathbf {\vec {x}} -\mathbf {\vec {y}} |^{3}}}\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {\vec {y}} \!\,.}$

Če se zamenja ${\displaystyle \mathbf {\vec {j}} \!\,}$ (gostota električnega toka) za ${\displaystyle \mathbf {\vec {v}} \!\,}$ in ${\displaystyle \mathbf {\vec {H}} \!\,}$ (jakost magnetnega polja) za ${\displaystyle \mathbf {\vec {A}} \!\,}$, se dobi Biot-Savartov zakon.

Naj je ${\displaystyle \mathbf {\vec {p}} \in \mathbb {R} \!\,}$ in naj je ${\displaystyle \Omega \!\,}$ zvezdasta domena s središčem na ${\displaystyle \mathbf {\vec {p}} \!\,}$, potem je s prevajanjem Poincaréjeve leme za diferencialne forme v svet vektorskih polj, tudi ${\displaystyle \mathbf {\vec {A'''}} (\mathbf {\vec {x}} )\!\,}$ vektorski potencial za ${\displaystyle \mathbf {\vec {v}} \!\,}$:

${\displaystyle \mathbf {\vec {A'''}} (\mathbf {\vec {x}} )=\int _{0}^{1}s((\mathbf {\vec {x}} -\mathbf {\vec {p}} )\times (\mathbf {\vec {v}} (s\mathbf {\vec {x}} +(1-s)\mathbf {\vec {p}} ))\operatorname {d} \!s\!\,.}$

Needinstvenost

Vektorski potencial, ki ga dopušča solenoidalno polje, ni edinstven. Če je ${\displaystyle \mathbf {\vec {A}} \!\,}$ vektorski potencial za ${\displaystyle \mathbf {\vec {v}} \!\,}$, potem je vektorski potencial tudi:

${\displaystyle \mathbf {\vec {A}} +\nabla f\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle f\!\,}$ poljubna zvezno odvedljiva skalarna funkcija. To izhaja iz dejstva, da je rotor gradienta poljubnega skalarnega polja ${\displaystyle \varphi \!\,}$ polje ničelnih vektorjev:

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )=\mathbf {\vec {0}} \!\,,}$

kar izhaja iz antisimetričnosti v definiciji rotorja in simetrije drugih odvodov.

Ta needinstvenost vodi do prostostne stopnje v formulaciji elektrodinamike ali umerilne svobode, in zahteva izbiro umeritve.

Elektromagnetno polje

Električni potencial ${\displaystyle \varphi \!\,}$ je skalarna količina. Njegov negativni gradient je enak jakosti električnega polja ${\displaystyle \mathbf {\vec {E}} \!\,}$:

${\displaystyle \mathbf {\vec {E}} =-\nabla \,\varphi \!\,.}$

Rotor magnetnega vektorskega potenciala ${\displaystyle \mathbf {\vec {A}} \!\,}$ je enak gostoti magnetnega polja ${\displaystyle \mathbf {\vec {B}} \!\,}$:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {\vec {A}} =\mathbf {\vec {B}} \!\,.}$

Kadar ni prostih tokov (${\textstyle \nabla \times \mathbf {\vec {H}} =\mathbf {\vec {0}} \!\,}$), se lahko v elektrostatiki definira magnetni skalarni potencial ${\displaystyle \psi \!\,}$:

${\displaystyle \mathbf {\vec {H}} =-\nabla \psi \!\,.}$

V okviru posebne teorije relativnosti je naravno magnetni vektorski potencial združiti z električnim (skalarnim) potencialom v elektromagnetni potencial – (elektromagnetni) četverec potenciala. Ta za elektromagnetno polje igra vlogo vektorskega potenciala, za gravitacijsko polje pa ga igra na primer Lanczosev potencial.

Glej tudi

• Helmoltzeva razstavitev (osnovni izrek vektorske analize)
• magnetni vektorski potencial
• solenoid
• zaprte in eksaktne diferencialne forme

Viri

• Cheng, David Keun (1993), Fundamentals of Engineering Electromagnetics, Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, COBISS 14947077, ISBN 0-201-56611-7