Gradient

Gradiênt je v matematiki diferencialna operacija, definirana nad skalarnim ali vektorskim poljem, ki pove, v kateri smeri se polje najbolj spreminja. Gradient se označuje z oznako »grad« ali simbolom ${\displaystyle \nabla \!\,}$ (nabla).

Gradient skalarnega polja

Kartezični koordinatni sistem

V trirazsežnem kartezičnem koordinatnem sistemu se gradient zapiše kot:

${\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}\!\,.}$

Pri tem je ${\displaystyle f(\mathbf {r} )\!\,}$ skalarno polje, odvisno od krajevnega vektorja ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)\!\,}$, oznake ${\displaystyle \partial \!\,}$ pa označujejo parcialne odvode po vsaki od koordinat.

Splošni krivočrtni koordinatni sistem

Cilindrični koordinatni sistem

V cilindričnem koordinatnem sistemu se gradient skalarnega polja ${\displaystyle f(\mathbf {r} )\!\,}$ izraža kot:

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z}\!\,.}$

Pri tem je ${\displaystyle \mathbf {r} =(r,\varphi ,z)\!\,}$ krajevni vektor, izražen v cilindričnem koordinatnem sistemu, ${\displaystyle \mathbf {e} _{r}\!\,}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{\varphi }\!\,}$ in ${\displaystyle \mathbf {e} _{z}\!\,}$ pa enotski vektorji v smeri vsake od koordinatnih osi.

Sferni koordinatni sistem

V sfernem koordinatnem sistemu se gradient skalarnega polja ${\displaystyle f(\mathbf {r} )\!\,}$ izraža kot:

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }\!\,.}$

Pri tem je ${\displaystyle \mathbf {r} =(r,\theta ,\varphi )\!\,}$ krajevni vektor, izražen v sfernem koordinatnem sistemu, ${\displaystyle \mathbf {e} _{r}\!\,}$, ${\displaystyle \mathbf {e} _{\theta }\!\,}$ in ${\displaystyle \mathbf {e} _{\varphi }\!\,}$ pa enotski vektorji v smeri vsake od koordinatnih osi.

Gradient vektorskega polja

Glej tudi

• vektorska analiza
• divergenca, rotor

Viri

• Kuščer, Ivan; Kodre, Alojz (1994), Matematika v fiziki in tehniki, Ljubljana: DMFA, str. 56–62, COBISS 41287936, ISBN 961-212-033-1