Prisekana piramida

Prisekana piramida (tudi frustum) je v geometriji ^[1] del telesa (običajno stožca ali piramide), ki leži med dvema vzporednima ravninama, ki jo prerežeta.

Množica prisekanih piramid
Primer petstrane (zgoraj) in kvadratne (spodaj) prisekane piramide
Stranske ploskve	n trapezov 2 n-kotnika
Robov	3 n
Oglišč	2 n
Simetrijska grupa	Cnv, [1,n], (*nn)
Lastnosti	konveksna

Elementi

Vsak ravni presek je osnovna ploskev prisekane piramide. Kadar ima os je to os prvotnega stožca ali piramide. Prisekana piramida je krožna, če ima krožno osnovno ploskev. Je tudi pravilna, če je njena os pravokotna na obe osnovni ploskvi, v nasprotnem primeru pa je nagnjena.

Višina prisekane piramide je pravokotna razdalja med obema osnovnima ploskvama.

Stožci in piramide lahko obravnavamo tudi kot izrojene primere, kadar poteka vsaj ena ravnina reza skozi vrh (tako se pripadajoča osnovna ploskev zmanjša v točko).Prisekane piramide so podrazred prizmatoidov.

Kadar dve prisekani piramidi združimo v njihovih osnovnih ploskvah, dobimo dvojno prisekano piramido.

Prostornina

Prostornina stožčastega ali prisekane piramide je enak telesu, ki ga dobimo preden odrežemo vrh ter odštejemo vrh. To pa je enako

${\displaystyle V={\frac {h_{2}B_{2}-h_{1}B_{1}}{3}}}$

kjer je

• ${\displaystyle B_{1}}$ ploščina ene osnovne ploskve
• ${\displaystyle B_{2}}$ ploščina druge osnovne ploskve
• ${\displaystyle h_{1}}$ je pravokotna višina od vrha do ravnine spodnje osnovne ploskve
• ${\displaystyle h_{2}}$ je pravokotna višina od vrha odrezanega dela do ravnine druge osnovne ploskve.

Če pa upoštevamo, da je

${\displaystyle {\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}=}$ α lahko obrazec za prostornino izrazimo samo kot odvisnost od α/3 in razlike tretjih potenc višin h₁ in h₂. Pri tem je (h₂−h₁) in višina prisekane piramide in α(h₁^{2 + h₁h₂ + h₂2)/3 za porazdelitev α, kar nam da Heronovo sredino za B₁ in B₂. Iz tega dobimo drugi obrazec za prostornino}

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}(B_{1}+B_{2}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}})}$.

Prostornina prisekanega krožnega stožca pa je

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{3}}(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{1}R_{2})}$

kjer je π 3,14159265...in R₁, R₂ sta polmera obeh osnovnih ploskev.

Prostornina prisekane piramide, ki ima za osnovno ploskev n-kotni mnogokotnik pa je

${\displaystyle V={\frac {nh}{12}}(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{1}a_{2})\cot {\frac {\pi }{n}}}$

where a₁ in a₂ sta stranici dveh osnovnih ploskev.

Površina

Pravokotni prisekani stožec ^[2] ima obstransko površino

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{obstranska površina}}&=\pi (R_{1}+R_{2})s\\&=\pi (R_{1}+R_{2}){\sqrt {(R_{1}-R_{2})^{2}+h^{2}}}\end{aligned}}}$

in

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{celotno površino}}&=\pi ((R_{1}+R_{2})s+R_{1}^{2}+R_{2}^{2})\\&=\pi ((R_{1}+R_{2}){\sqrt {(R_{1}-R_{2})^{2}+h^{2}}}+R_{1}^{2}+R_{2}^{2})\end{aligned}}}$

kjer je

• ${\displaystyle R_{1}}$ polmer osnovne ploskve
• ${\displaystyle R_{2}}$ polmer zgornje osnovne ploskve
• ${\displaystyle s}$ je višina prisekanega stožca.

Površina prisekanega pravokotnega, katerega osnovna ploskev je podobna n-kotnemu mnogokotniku je

${\displaystyle A={\frac {n}{4}}\left[(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-a_{2}^{2})^{2}\sec ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4h^{2}(a_{1}+a_{2})^{2}}}\right]}$

kjer sta a₁ in a₂ sta stranici vsake izmed osnovnih ploskev.

Sklici

1. Izraz izhaja iz latinskega pojma frustum, kar pomeni "kos" ali "drobtina". Angleška beseda se včasih napačno črkuje kotfrustrum, verjetno zaradi podobnosti z besedami "frustrirati" in "frustracija", ki imata tudi latinski izvor
2. »Mathwords.com: Prisekan stožec ali piramida«. Pridobljeno 17. julija 2011.

Zunanje povezave

• Izpeljava obrazca za prostornino prisekanega stožca in piramide (angleško)
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Pyramidal Frustum«. MathWorld.
• Weisstein, Eric Wolfgang. »ConicalFrustum«. MathWorld.
• Papirni modeli prisekanih piramid (angleško)
• Papirni modeli prisekanih stožcev (angleško)
• Stran modelov s prisekanimi stožci (angleško)