From Wikipedia, the free encyclopedia
Podgrupa dane grupe za neko dvočleno operacijo * je H podmnožica množice G se imenuje podgrupa G, če H tudi tvori grupo za dvočleno operacijo *. Če smo bolj natančni je H je podgrupa množice G, če so omejitve, ki veljajo za * H x H grupna operacija za H. To se pogosto piše kot H ≤ G, in bere kot "H je podgrupa za G".
Za dano podgrupo H in poljuben a v lahko definiramo levi koset aH = {ah :h v H}. Ker je preslikava obrnljiva H → aH in je dana z φ(h) = ah je to bijekcija. Vsak element v G se nahaja natančno v enem levem kosetu od H. Levi koset je enakovreden razred, ki odgovarja ekvivalenčni relaciji a1 ~ a2, če in samo, če je a1−1a2 v H. Število levih kosetov za H se imenuje indeks za H v G. Označujemo ga z [G : H].
Lagrangeev izrek trdi, da je za končne grupe v podgrupi:
kjer |G| in |H| označujeta red za G oziroma za H. Pti tem mora biti red vsake grupe za G ter red vsakega elementa od G delitelj za G.
Desni koseti so definirani podobno Ha = {ha : h v H}. To so tudi ekvivalenčni razredi za odgovarjajoče ekvivalenčne relacije. Njihovo število je enako [G : H].
Kadar je aH = Ha za vsak a v G, pravimo, da je H normalna podgrupa. Vsaka podgrupa z indeksom dva je normalna. Levi in desni koset je podgrupa in njegov komplement. Bolj splošno to povemo tako, da takrat, ko je p prvo praštevilo, ki deli red končne grupe G, potem je vsak indeks podgrupe, če ta obtoja, običajen.
Naj bo G ciklična grupa, ki ima elemente
in z grupno operacijo seštevanje po modulu osem. Pripadajoča Caleyjeva tabela je
+ | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
2 | 2 | 4 | 6 | 0 | 3 | 5 | 7 | 1 |
4 | 4 | 6 | 0 | 2 | 5 | 7 | 1 | 3 |
6 | 6 | 0 | 2 | 4 | 7 | 1 | 3 | 5 |
1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 2 | 4 | 6 | 0 |
3 | 3 | 5 | 7 | 1 | 4 | 6 | 0 | 2 |
5 | 5 | 7 | 1 | 3 | 6 | 0 | 2 | 4 |
7 | 7 | 1 | 3 | 5 | 0 | 2 | 4 | 6 |
Ta grupa ima par netrivialnih podgrup J={0,4} in H={0,2,4,6}, kjer je J tudi podgrupa za H. Caylejeva tabela za H zgornji levi kvadrant Caylejeve tabele za G. Grupa G je ciklična. Takšne so tudi njene podgrupe. V splošnem so tudi podgrupe cikličnih grup tudi ciklične.
Vsaka grupa kot ima tudi toliko majhnih podgrup ter nevtralnih elementov na glavni diagonali:
Trivialna grupa ter grupa dveh elementov je Z2. Te majhne podgrupe niso navedene v spodnji tabeli.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.