Petersenov graf

Petersenov gráf [pétersenov ~] je v teoriji grafov pomemben graf z 10 točkami in 15 povezavami. Ima mnogo zanimivih značilnosti in se velikokrat rabi kot uporabni primer in protiprimer pri mnogih problemih v teoriji grafov. Imenuje se po danskem matematiku Juliusu Petersenu, ki ga je vpeljal leta 1892 in objavil leta 1898. Leta 1898 je pokazal, da je graf najmanjši kubični graf brez mostov in brez 3-povezavnega barvanja.^[1]

Petersenov graf
Najbolj znana predstavitev Petersenovega grafa s petkotnikom in petimi prečkami.
Ime	Julius Petersen
Točke	10
Povezave	15
Polmer	2
Premer	2
Notranji obseg	5
Avtomorfizem	120 (S5)
Kromatično število	3
Kromatični indeks	4
Ulomljeni kromatični indeks	3
Rod	1
Značilnosti	simetričen 3-regularen (kubičen) krepkoregularen razdaljnoprehoden snark z enotsko razdaljo hipohamiltonov
p p u

Petersenov graf. Najbolj znana predstavitev s petimi križajočimi povezavami. Predstavitev Petersenovega grafa je neskončno mnogo.

Petersenov graf z le dvema križajočima povezavama.

Petersenov graf s tremi križajočimi povezavami. Primer lepo kaže kako je ta Petersenov graf izomorfen prvemu in vsem ostalim. Izgleda precej drugače, vendar je z očmi teorije grafov enak drugim.

Petersenov graf s povezavami dolžine 1 (graf z enotsko razdaljo).

Petersenov graf, ki kaže, da je graf hipohamiltonov. To je posledica dejstva, da je Petersenov graf točkovnoprehoden.

Značilnosti

Osnovne značilnosti

Petersenov graf

• je 3-povezan (stopnja vsake točke je enaka 3),
• je kubičen, krepkoregularen,
• ima kromatično število 3 in kromatični indeks 4 in je zato snark.

Druge značilnosti

Petersenov graf

• je neravninski graf,
• ima najmanjše možno število križajočih povezav 2,
• ima Hamiltonovo pot (Hamiltonov sprehod), ne pa tudi Hamiltonovega cikla,
• je simetričen,
• je Kneserjev graf ${\displaystyle K_{5,2}}$,
• ima spekter −2, −2, −2, −2, 1, 1, 1, 1, 1, 3 (-2⁴, 1⁵, 3¹),
• ...

Največji in najmanjši

Petersenov graf

• je najmanjši snark,
• je najmanjši kubični graf brez mostov in brez Hamiltonovega cikla,
• je najmanjši hipohamiltonov graf,
• je največji kubični graf s premerom 2.

Posplošeni Petersenov graf

Družina Petersenovih grafov

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. MathWorld https://mathworld.wolfram.com/. {{navedi splet}}: Manjkajoč ali prazen |title= (pomoč)

Sklici

1. Brouwer, Andries Evert, The Petersen graph (v angleščini)