Möbiusova funkcija, po navadi označena z , je določena za vsa pozitivnanaravna števila. Lahko zavzema tri različne vrednosti {-1, 0, 1}, kar je odvisno od razcepa danega števila na prafaktorje. Določena je z:
Če je za dano celo število vrednost Möbiusove funkcije enaka 1, ima sodo število različnih prafaktorjev. Če je enaka -1 ima liho število različnih prafaktorjev.
Če se definira dve funkciji:
, število različnih praštevil, ki delijo število ,
, število vseh prafaktorjev števila , šteto s ponovitvami.
Očitno velja:
S funkcijama je potem Möbiusova funkcija določena kot:
Obrat funkcije ζ se lahko izrazi s pomočjo Möbiusove funkcije :
za vsako kompleksno število z realnim delom > 1. To dejstvo skupaj z vrednostjo funkcije se lahko uporabi za dokaz, da je verjetnost, da sta si dve naključno izbrani celi števili tuji enaka .
Če je praštevilo, je , obratno pa ne velja. Prvo sestavljeno število , za katerega je , je 30=2 · 3 · 5. Prva takšna števila s tremi različnimi prafaktorji (klinasta števila) so (OEISA007304):
V kombinatoriki ima vsaka lokalno končna delno urejena množicaincidenčno algebro. En pomemben član te algebre je »Möbiusova funkcija«množice. Klasična Möbiusova funkcija je popolnoma enaka Möbiusovi funkciji množice vseh pozitivnih celih števil urejenih glede na deljivost.
Popovicijeva funkcija
Popovici je definiral posplošeno Möbiusvo funkcijo , ki je -tera Dirichletova konvolucija Möbiusove funkcije s samo seboj. Tako je spet multiplikativna funkcija z:
Möbiusova funkcija se pojavlja tudi v modelu primonskega plina, oziroma prostega riemannovskega plinasupersimetrije. V tej teoriji imajo osnovni delci ali »primoni«energije . Pri drugi kvantizaciji se upoštevajo vplivi več delcev, ki so dani z za poljubno naravno število . To izhaja iz dejstva da je razcep naravnih števil v prafaktorje enoličen. Primonski plin je model, ki na preprost način ponazarja nekatere povezave med teorijo števil, kvantno teorijo polja in dinamičnimi sistemi. Zamisel primonskega plina je uvedel francoski fizik Bernard Julia.
V prostem riemannovskem plinu se lahko pojavi poljubno naravno število, če se primone obravnava kot bozone. Če se jih obravnava kot fermione, potem zaradi Paulijevega izključitvenega načela kvadrati ne pridejo v poštev. Operator (−1)F, ki razlikuje fermione od bozonov, ni nič drugega kot Möbiusova funkcija .
Hardy in Wright, Opombe v poglavju XVI:»... se implicitno pojavlja v Eulerjevem delu leta 1748, Möbius pa je leta 1832 prvi sistematično raziskal njene značilnosti.«[1]
Gauss je v svojem delu Disquisitiones Arithmeticae (1801) pokazal, da je vsota primitivnih korenov () enaka , vendar ni naprej rabil funkcije. V Disquisitiones ni rabil Möbiusovega obrata.[2]
Bost, J.-B.; Connes, Alain (1995). »Hecke Algebras, Type III factors and phase transitions with spontaneous symmetry breaking in number theory«. Selecta Math. (New Series). Zv.1. str.411–457.
Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory), H. Maser (prevod v nemščino) (2.izd.), New York: Chelsea, ISBN0-8284-0191-8
Hardy, Godfrey Harold; Wright, Edward Maitland (1980). An Introduction to the Theory of Numbers (5.izd.). Oxford: Oxford University Press. ISBN978-0198531715.
Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, ur. (2006), Handbook of number theory I, Dordrecht: Springer-Verlag, str.187–226, ISBN1-4020-4215-9, Zbl1151.11300
Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004), Handbook of number theory II, Dordrecht: Kluwer Academic, ISBN1-4020-2546-7, Zbl1079.11001