Mertensova fúnkcija [mértensova ~] je v teoriji števil aritmetična funkcija določena z vsoto :
M
(
n
)
=
∑
k
=
1
n
μ
(
k
)
,
{\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\!\,,}
Graf Mertensove funkcije
M
(
n
)
;
n
=
1
⋯
10000
{\displaystyle M(n)\,;\,n=1\cdots 10000\!\,}
kjer je
μ
(
k
)
{\displaystyle \mu (k)}
Möbiusova funkcija . Mertensova funkcija pomeni število celih števil deljivih brez kvadrata manjših ali enakih n , ki imajo sodo število sodih prafaktorjev , minus število celih števil, ki imajo liho število prafaktorjev.
Prve vrednosti Mertensove funkcije za
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
( OEIS A002321 ) :
1,0,-1,-1,-2,-1,-2,-2,-2,-1,-2,-2,-3,-2,-1,-1,-2,-2,-3,-3,-2,-1,-2,-2,-2,-1,-1,-1,-2,-3,-4,-4,-3,-2,-1,-1,-2,-1,0,0,... Mertensova funkcija ima ničle za vrednosti n ( OEIS A028442 ) :
2 , 39 , 40 , 58 , 65 , 93 , 101 , 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, ...,in za praštevilske vrednosti n ( OEIS A100669 )
2, 101, 149, 163, 331, 353, 401, 419, 541, 607, 811, 823, 853, 877, 883, 919, 1013, 1279, 1289, 1291, 1297, 1523, 1531, 1543, 1861, 2017, 2099, 2113, ... Mertensova funkcija ima največje absolutne vrednosti za vrednosti n ( OEIS A051402 ) :
1 , 5 , 13 , 31 , 110, 114, 197, 199, 443, 659, 661, 665, 1105, 1106, 1109, 1637, 2769, 2770Ker Möbiusova funkcija vrača le vrednosti -1, 0 in +1, je očitno, da se Mertensova funkcija spreminja počasi in, da ne obstaja takšen n , za katerega bi veljalo:
|
M
(
n
)
|
>
n
.
{\displaystyle |M(n)|>n\!\,.}
Mertensova funkcija je v tesni zvezi z ničlami Euler-Riemannove funkcije ζ . Thomas Joannes Stieltjes je leta 1885 v pismu svojemu sodelavcu Hermitu nakazal povezavo Mertensove funkcije z Riemannovo domnevo in trdil, da je našel dokaz, da velja:
|
M
(
n
)
|
<
n
,
{\displaystyle \left|M(n)\right|<{\sqrt {n}}\!\,,}
oziroma, da je vrednost izraza:
M
(
n
)
n
{\displaystyle {\frac {M(n)}{\sqrt {n}}}\!\,}
vedno med dvema stalnima mejama. Stieltjes dokaza ni nikoli objavil, ker je verjetno našel napako. Franz Mertens je leta 1897 objavil 50 strani dolgo tabelo vrednosti za M (n ) za števila do 10.000. Na podlagi tabele je menil, da je Stieltjesova neenakost zelo verjetna. Danes se to imenuje Mertensova domneva , katere negativen izid sta dokazala leta 1985 te Riele in Odlyzko . Ker Mertensova in Riemannova domneva nista enakovredni, se iz neveljavnosti Mertensove domneve ne more sklepati o Riemannovi domnevi. Če pa bi Mertensova domneva veljala, bi veljala tudi Riemannova. Riemannova domneva je enakovredna šibkejši domnevi o rasti funkcije
M
(
n
)
{\displaystyle M(n)}
M
(
n
)
=
o
(
n
(
1
/
2
)
+
ϵ
)
,
{\displaystyle M(n)=o\left(n^{(1/2)+\epsilon }\right)\!\,,}
kjer je
o
{\displaystyle o}
Landauov zapis z malim o . Ker velike vrednosti M naraščajo vsaj tako hitro kot kvadratni koren iz n , je meja zelo tanka.
Analitična enačba za Mertensovo funkcijo ni znana.
Integralski izrazi
Za Eulerjev produkt velja:
1
ζ
(
s
)
=
∏
p
∈
P
(
1
−
p
−
s
)
=
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
−
s
,
{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)n^{-s}\!\,,}
kjer je
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
Dirichletovo vrsto in Perronovo enačbo velja:
1
2
π
i
∮
C
d
s
x
s
s
ζ
(
s
)
=
M
(
x
)
,
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\rm {d}}s{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}=M(x)\!\,,}
kjer je C sklenjena krivulja , ki obkroža vse ničle
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
Na drugi strani velja Mellinova transformacija :
1
ζ
(
s
)
=
s
∫
1
+
∞
M
(
x
)
x
s
+
1
d
x
{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{+\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}\,{\rm {d}}x\!\,}
za
ℜ
(
s
)
>
1
{\displaystyle \Re (s)>1}
Mertens je podal zvezo, ki vsebuje funkcijo Čebišova :
Ψ
(
x
)
=
−
M
(
x
2
)
log
(
2
)
−
M
(
x
3
)
log
(
3
)
−
M
(
x
4
)
log
(
4
)
+
…
.
{\displaystyle \Psi (x)=-M\left({\frac {x}{2}}\right)\log(2)-M\left({\frac {x}{3}}\right)\log(3)-M\left({\frac {x}{4}}\right)\log(4)+\ldots \!\,.}
Dobro asimptotično oceno da Laplaceova metoda najhitrejšega spusta prek neenakosti :
∮
C
d
s
F
(
s
)
e
s
t
∼
M
(
e
t
)
,
{\displaystyle \oint _{C}{\rm {d}}sF(s)e^{st}\sim M(e^{t})\!\,,}
kjer se predpostavi, da, če ne obstajajo večkratne netrivialne ničle
ζ
(
ρ
)
{\displaystyle \zeta (\rho )}
z izrekom o ostankih:
1
2
π
i
∮
C
d
s
x
s
s
ζ
(
s
)
=
∑
ρ
x
ρ
ρ
ζ
′
(
ρ
)
−
2
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
(
2
π
)
2
n
(
2
n
)
!
n
ζ
(
2
n
+
1
)
x
2
n
.
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\rm {d}}s{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}=\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho \zeta '(\rho )}}-2+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2\pi )^{2n}}{(2n)!n\zeta (2n+1)x^{2n}}}\!\,.}
Weyl je domneval, da za Mertensovo funkcijo velja približna funkcijsko -diferencialna enačba :
1
2
y
(
x
)
−
∑
r
=
1
N
B
2
r
(
2
r
)
!
D
t
2
r
−
1
y
(
x
t
+
1
)
+
x
∫
0
x
d
u
y
(
u
)
u
2
=
x
−
1
H
(
log
x
)
,
{\displaystyle {\frac {1}{2}}y(x)-\sum _{r=1}^{N}{\frac {B_{2r}}{(2r)!}}D_{t}^{2r-1}y\left({\frac {x}{t+1}}\right)+x\int _{0}^{x}{\rm {d}}u{\frac {y(u)}{u^{2}}}=x^{-1}H(\log x)\!\,,}
kjer je H (x ) Heavisidova skočna funkcija ,
B
2
r
{\displaystyle B_{2r}}
Bernoullijeva števila in vsi odvodi po t so izračunani v t = 0.
Titchmarsh je leta 1960 zapisal sledno formulo, ki vsebuje vsoto prek Möbiusove funkcije in ničel Riemannove funkcije ζ:
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
g
log
n
=
∑
t
h
(
t
)
ζ
′
(
1
/
2
+
i
t
)
+
2
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
(
2
π
)
2
n
(
2
n
)
!
ζ
(
2
n
+
1
)
∫
−
∞
∞
g
(
x
)
e
−
x
(
2
n
+
1
/
2
)
d
x
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g\log n=\sum _{t}{\frac {h(t)}{\zeta '(1/2+it)}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2\pi )^{2n}}{(2n)!\zeta (2n+1)}}\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-x(2n+1/2)}\,{\rm {d}}x\!\,,}
kjer vsota po 't' poteka prek imaginarnih delov netrivialnih ničel, (g, h) pa povezuje Fourierova transformacija , da velja:
π
g
(
x
)
=
∫
0
∞
h
(
u
)
cos
(
u
x
)
d
u
.
{\displaystyle \pi g(x)=\int _{0}^{\infty }h(u)\cos(ux)\,{\rm {d}}u\!\,.}
Vsota Fareyjevega zaporedja
Druga formula za Mertensovo funkcijo je:
M
(
n
)
=
∑
a
∈
F
n
e
2
π
i
a
,
{\displaystyle M(n)=\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia}\!\,,}
kjer je
F
n
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}
Fareyjevo zaporedje reda n .
Formula se uporablja pri dokazu Franel-Landauovega izreka .[1]
M (n ) je determinanta Redhefferjeve matrike R reda n , kvadratne dvojiške matrike , v kateri so elementi a ij j = 1 ali, če i deli j , drugače pa so enaki 0.
Na primer:
R
1
=
[
1
]
,
det
R
1
=
M
(
1
)
=
1
{\displaystyle R_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\quad \det R_{1}=M(1)=1\!\,}
R
2
=
[
1
1
1
1
]
,
det
R
2
=
M
(
2
)
=
0
{\displaystyle R_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},\quad \det R_{2}=M(2)=0\!\,}
R
3
=
[
1
1
1
1
1
0
1
0
1
]
,
det
R
3
=
M
(
3
)
=
−
1
{\displaystyle R_{3}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}},\quad \det R_{3}=M(3)=-1\!\,}
R
4
=
[
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
]
,
det
R
4
=
M
(
4
)
=
−
1
{\displaystyle R_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&0&1\\1&0&1&0\\1&0&0&1\end{bmatrix}},\quad \det R_{4}=M(4)=-1\!\,}
Edwards, Harold Mortimer (1974), Riemann's Zeta Function , Mineola, New York: Dover, ISBN 0-486-41740-9 
