Krivulja tretje stopnje

Krivulja tretje stopnje (tudi kubična krivulja) je ravninska algebrska krivulja, ki jo določa enačba tretje stopnje:

F(x,y,z) = 0

Nekaj krivulj tretje stopnje. Parametra ${\displaystyle a\,}$ in ${\displaystyle b\,}$ sta določena z enačbo ${\displaystyle 4x^{3}-ax^{2}y+9xy^{2}-9y^{3}-36x+36y+10b=0\,}$.

kjer so

• ${\displaystyle x,y,z\,}$ homogene koordinate za projektivno ravnino.

Funkcija ${\displaystyle F\,}$ je lahko neničelna linearna kombinacija naslednjih monomov tretje stopnje

x³, y³, z³, x²y, x²z, y²x, y²z, z²x, z²y, xyz.

Znanih je 10 polinomov te vrste, kar pomeni, da tvorijo krivulje tretje stopnje projektivni prostor, ki ima 9 razsežnosti nad poljubnim obsegom ${\displaystyle K\,}$.

Kubične krivulje v ravnini trikotnika

Predpostavimo, da ima trikotnik ABC dolžine stranic enake ${\displaystyle a=|BC|\,}$, ${\displaystyle b=|CA|\,}$ in ${\displaystyle c=|AB|\,}$. Veliko krivulj tretje stopnje poteka skozi znane točke trikotnika. Med najbolj znanimi so primeri, ko za krivulje uporabljamo dve vrsti homogenih koordinat: trilinearne in težiščne.

Če hočemo pretvoriti kubično enačbo iz trilinearne oblike v težiščno obliko, moramo opraviti naslednje zamenjave

x → bcx, y → cay, z → abz;

.

Kadar pa želimo pretvorbo kubične enačbe iz težiščne v trilinearno obliko, uporabimo naslednje zamenjave

x → ax, y → by, z → cz.

Mnoge enačbe tretje stopnje lahko pišemo v obliki

f(a,b,c,x,y,z) + f(b,c,a,y,z,x) + f(c,a,b,z,x,y) = 0.

V spodnjih primerih enačb tretje stopnje bomo uporabili notacijo ciklične vsote, ki ima obliko

[ciklična vsota f(x,y,z,a,b,c)] = 0.

Neubergova enačba tretje stopnje

Trilinearna oblika enačbe: [ciklična vsota (cos A - 2 cos B cos C)x(y² - z²)] = 0

Težiščna oblika enačbe: [ciklična vsota (a²(b² - c²) - (b² - c² - 2a⁴)²)x(c²y² - b²z²)] = 0.

Grafično obliko glej na Neubergova enačba tretje stopnje.

Thomsonova enačba tretje stopnje

Trilinearna oblika enačbe: [ciklična vsota bcx(y² - z²)] = 0

Težiščna oblika enačbe: [ciklična vsota x(c²y² - b²z²)] = 0

Grafično obliko glej na Thomsonova enačba tretje stopnje.

Darbouxova enačba tretje stopnje

Trilinearna oblika enačbe: [ciklična vsota (cos A - cos B cos C)x(y² - z²)] = 0

Težiščna oblika enačbe: [ciklična vsota (2a²(b² + c²) + (b² - c²)² - 3a⁴)x(c²y² - b²z²)] = 0

Grafično obliko glej na Darbouxova enačba tretje stopnje

Napoleon-Feuerbachova enačba tretje stopnje

Trilinearna oblika enačbe: [ciklična vsota (B - C)x(y² - z²)] = 0

Težiščna oblika enačbe: [ciklična vsota (a²(b² - c²) - (b² - c²)²)x(c²y² - b²z²)] = 0

Grafično obliko glej na Napoleon-Feuerbachova enačba tretje stopnje

Lucasova enačba tretje stopnje

Trilinearna oblika enačbe: [ciklična vsota (cos A)x(b²y² - c²z²)] = 0

Težiščna oblika enačbe: [ciklična vsota (b² + c² - a²)x(y² - z²)] = 0

Grafično obliko glej na Lucasova enačba tretje stopnje

Prva Brocardova enačba tretje stopnje

Trilinearna oblika enačbe: [ciklična vsota bc(a⁴ - b²c²)x(y² + z²] = 0

Težiščna oblika enačbe: [ciklična vsota (a⁴ - b²c²)x(c²y² + b²z²] = 0

Grafično obliko glej na Prva Brocardova enačba tretje stopnje

Druga Brocardova enačba tretje stopnje

Trilinearna oblika enačbe: [ciklična vsota bc(b² - c²)x(y² + z²] = 0

Težiščna oblika enačbe: [ciklična vsota (b² - c²)x(c²y² + b²z²] = 0

Grafično obliko glej na Druga Brocardova enačba tretje stopnje

Prva enačba enakih ploskev enačbe tretje stopnje

Trilinearna oblika enačbe: [ciklična vsota a(b² - c²)x(y² - z²] = 0

Težiščna oblika enačbe: [ciklična vsota a²(b² - c²)x(c²y² - b²z²] = 0

Grafično obliko glej na Prva enačba enakih ploskev enačbe tretje stopnje

Druga enačba enakih ploskev enačbe tretje stopnje

Trilinearna oblika enačbe: [ciklična vsota (bz+cx)(cx+ay)(ay+bz) = (bx+cy)(cy+ax)(az+bx)

Težiščna oblika enačbe: [ciklična vsota a(a² - bc)x(c³y² - b³z²)] = 0

Grafično obliko glej na Druga enačba enakih ploskev enačbe tretje stopnje

Glej tudi

• seznam krivulj

Zunanje povezave

• Galerija ravninskih krivulj tretje stopnje Arhivirano 2011-07-17 na Wayback Machine. (angleško)