Konstanta fine strukture

Konstánta fíne struktúre (tudi elektromagnetna sklopitvena konstanta, običajna oznaka mala grška črka alfa (${\displaystyle \alpha \!\,}$)) je brezrazsežna fizikalna konstanta, ki se jo pogosto sreča v atomski fiziki. V splošnem velja za osnovno fizikalno konstanto. Povezana je z osnovnim nabojem ${\displaystyle e_{0}\!\,}$:

${\displaystyle 4\pi \varepsilon _{0}\hbar c_{0}\alpha =e_{0}^{2}\!\,.}$

Njena številska vrednost, približno ${\displaystyle 1/137,035\ 999\ldots \!\,}$, je neodvisna od uporabljenega sistema enot.

Čeprav zanjo obstaja več fizikalnih interpretacij, jo je v fiziko leta 1916 kot del svoje teorije relativističnih odklonov atomskih spektralnih črt iz napovedi Bohrovega modela atoma uvedel Arnold Sommerfeld, zato se včasih imenuje tudi Sommerfeldova konstanta fine strukture ali kar Sommerfeldova konstanta.^[1] Določa vrzel v fini strukturi spektralnih črt vodikovega atoma, ki sta jo leta 1887 točno izmerila Michelson in Morley.^{[lower-alpha 1]} V teoriji kvantne elektrodinamike (QED) predstavlja jakost interakcije med osnovnimi (nabitimi) delci, kot so na primer elektroni, in elektromagnetnim valovanjem (fotoni).

Če bi imel na primer elektron velikost grahovega zrna in premer enak ${\displaystyle 2r_{e}=5\ {\text{mm}}\!\,}$, bi imel vodikov atom premer ${\displaystyle 2r_{\rm {H}}=2r_{e}/\alpha ^{2}\cong 0,005\cdot 18778,8\cong 94\ {\text{m}}\!\,}$.^{[3]:541–542} Vezavna energija osnovnega stanja vodikovega atoma v Bohrovem modelu, energija prve orbite – ionizacijska energija (Rydbergova energija), potrebna da se razdvojita elektron in proton v atomu, je približno enaka (potencialni) energiji elektrona v prvi orbiti, povečani za množitelj ${\displaystyle \alpha ^{2}/2\!\,}$, in povezani z njegovo mirovno maso:^{[3]:540, 541}

${\displaystyle W_{1}=W_{\rm {R}}={\frac {\alpha ^{2}U_{\rm {el}}}{2}}={\frac {\alpha ^{2}m_{\rm {e}}c_{0}^{2}}{2}}\!\,.}$

Poleg tega je magnetni moment elektrona precej večji od pričakovane vrednosti za nabiti, točkasti delec za množitelj približno enak ${\displaystyle 1+\alpha /(2\pi )\!\,}$.^[4]

Definicija

Z drugimi osnovnimi fizikalnimi konstantami je konstanta fine strukture ${\displaystyle \alpha \!\,}$ določena z več enakovrednimi izrazi:

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e_{0}^{2}}{\hbar c_{0}}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {c_{0}e_{0}^{2}}{\hbar }}=\kappa _{\rm {e}}{\frac {e_{0}^{2}}{\hbar c_{0}}}={\frac {\mu _{0}c_{0}}{2R_{\rm {K}}}}={\frac {Z_{0}e_{0}^{2}}{4\pi \hbar }}\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle e_{0}\!\,}$ – osnovni naboj,
• ${\displaystyle \pi \!\,}$ – število pi,
• ${\displaystyle \hbar =h/(2\pi )\!\,}$ – reducirana Planckova konstanta,
• ${\displaystyle c_{0}\!\,}$ – hitrost svetlobe v vakuumu,
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}\!\,}$ – influenčna konstanta ali dielektričnost vakuuma,
• ${\displaystyle \mu _{0}\!\,}$ – indukcijska konstanta,
• ${\displaystyle \kappa _{\rm {e}}\!\,}$ – Coulombova konstanta,
• ${\displaystyle R_{\rm {K}}\!\,}$ – von Klitzingova konstanta,
• ${\displaystyle Z_{0}\!\,}$ – valovna impedanca vakuuma.

Feynmanovi diagrami osmega reda elektrona, delujočega nase. Vodoravna črta s puščico predstavlja elektron, valovite črte so navidezni fotoni, krožnice pa so navidezni pari elektronov in pozitronov.

Kadar imajo druge konstante (${\displaystyle c_{0}\!\,}$, ${\displaystyle h\!\,}$ in ${\displaystyle e_{0}\!\,}$) določene vrednosti, definicija odseva povezavo med ${\displaystyle \alpha \!\,}$ in permeabilnostjo vakuuma (indukcijsko konstanto) ${\displaystyle \mu _{0}\!\,}$, ki je enaka:

${\displaystyle \mu _{0}={\frac {2h\alpha }{c_{0}e_{0}^{2}}}\!\,.}$

V novi definiciji osnovnih enot SI iz leta 2019 je ${\displaystyle 4\pi \cdot 1,00000000054(15)\cdot 10^{-7}\ {\text{H}}\cdot {\text{m}}^{-1}\!\,}$ vrednost za ${\displaystyle \mu _{0}\!\,}$, ki temelji na srednji vrednosti vseh tedaj obstoječih meritev konstante fine strukture.^[5][6][7][8]

V enotah, ki niso del SI

V enotah elektrostatičnega sistema enot CGS je enota za električni naboj, statcoulomb, definirana tako, da sta Coulombova konstanta ${\displaystyle \kappa _{\rm {e}}\!\,}$ ali influenčni množitelj ${\displaystyle 4\pi \varepsilon _{0}\!\,}$ enaka 1 in brezrazsežna. Tako je izraz za konstanto fine strukture, ki se običajno najde v starejših fizikalnih virih, enak:

${\displaystyle \alpha ={\frac {e_{0}^{2}}{\hbar c_{0}}}\!\,.}$

V sistemu naravnih enot, ki se običajno rabi v visokoenergijski fiziki, kjer so konstante ${\displaystyle \varepsilon _{0}=c_{0}=\hbar =1\!\,}$, je vrednost konstante fine strukture enaka:^[9]

${\displaystyle \alpha ={\frac {e_{0}^{2}}{4\pi }}\!\,.}$

Kot taka je konstanta fine strukture le druga, čeprav brezrazsežna, količina, ki določa (oziroma je določena z) osnovnim nabojem:

${\displaystyle e_{0}={\sqrt {4\pi \alpha }}=0,302\ 822\ 12\!\,}$

in izražena s takšnimi enotami naboja.

V sistemu Hartreejevih atomskih enot (${\displaystyle e_{0}=m_{\rm {e}}=\hbar =1\!\,}$ in ${\displaystyle \varepsilon _{0}=1/(4\pi )\!\,}$) je konstanta fine strukture enaka obratni vrednosti hitrosti svetlobe v vakuumu:

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{c_{0}}}=3,335\ 640\ 951\ 981\ldots 10^{-9}\ {\text{m}}^{-1}\cdot {\text{s}}^{-1}\!\,.}$

V racionalnem sistemu enot se kvadratni koren konstante fine strukture pojavlja kot merska enota za električni naboj.

Meritve

Ker je ${\displaystyle \alpha \!\,}$ brezrazsežna količina, je njena številska vrednost neodvisna od uporabljenega sistema enot. Priporočena vrednost je (CODATA, 2018):^[8]

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e_{0}^{2}}{\hbar c_{0}}}=7,297\ 352\ 5693(11)\cdot 10^{-3}\!\,.}$

Relativna standardna negotovost te vrednosti je enaka ${\displaystyle u_{\rm {r}}=0,151\cdot 10^{-9}\!\,}$.^[8]

Ta vrednost za ${\displaystyle \alpha \!\,}$ da vrednost indukcijske konstante ${\displaystyle \mu _{0}4\pi \cdot 1,00000000054(15)\cdot 10^{-7}\ {\text{H}}\cdot {\text{m}}^{-1}\!\,}$ s standardnim odklonom 3,6 od njene stare definirane vrednosti in s srednjo vrednostjo s standardno negotovostjo od stare vrednosti ${\displaystyle 0,54\cdot 10^{-9}\!\,}$.

Konstanta fine strukture ${\displaystyle \alpha \!\,}$ je zaradi zgodovinskih razlogov podana tudi z obratno vrednostjo:^[10]

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}=137,035\ 999\ 084(21)\!\,.}$

Čeprav se lahko vrednost ${\displaystyle \alpha \!\,}$ oceni iz vrednosti konstant, ki se pojavijo v njenih različnih definicijah, teorija QED zagotavlja načine meritev neposredno s pomočjo kvantnega Hallovega pojava ali anomalnega dipolnega magnetnega momenta elektrona. Med te načine merjenja spadata tudi Josephsonov pojav v izmeničnem električnem toku in fotonski odmik v atomski interferometriji.^[11] Obstaja splošno soglasje za vrednost ${\displaystyle \alpha \!\,}$, kot je izmerjena s temi različnimi metodami. Prednostni metodi leta 2019 sta bili meritve anomalnih dipolnih magnetnih momentov elektrona in fotonski odmik v atomski interferometriji.^[11] Teorija QED predvideva povezavo med brezrazsežnim magnetnim momentom elektrona in konstanto fine strukture ${\displaystyle \alpha \!\,}$ (magnetni moment elektrona se imenuje »Landéjev množitelj g« in se označuje kot ${\displaystyle g\!\,}$). Najtočnejša vrednost ${\displaystyle \alpha \!\,}$, pridobljena eksperimentalno, je do leta 2012 temeljila na merjenju ${\displaystyle g\!\,}$ s pomočjo enega elektrona z napravo imenovano »kvantni ciklotron«, skupaj z izračunom prek teorije QED, ki je zahtevala Feynmanove diagrame reda 12672:^[12]

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}=137,035\ 999\ 174(35)\!\,.}$

Ta meritev ${\displaystyle \alpha \!\,}$ ima relativno standardno negotovost ${\displaystyle u_{\rm {r}}=0,25\cdot 10^{-9}\!\,}$. Ta vrednost in njena negotovost sta približno enaki kot najnovejši eksperimentalni rezultati.^[13] Nadaljnje izboljšave tega dela so bile objavljene na koncu leta 2020 in so dale vrednost:

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}=137,035\ 999\ 206(11)\!\,}$

z relativno točnostjo 81 delov na bilijon (${\displaystyle 81\cdot 10^{-12}\!\,}$).^[14]

Fizikalne interpretacije

Konstanta fine strukture ${\displaystyle \alpha \!\,}$ ima več fizikalnih interpretacij:

• ${\displaystyle \alpha \!\,}$ je razmerje dveh energij: (i) energije potrebne za elektrostatične odbojne sile med elektroni na razdalji ${\displaystyle d\!\,}$ in (ii) energije posameznega fotona z valovno dolžino ${\displaystyle \lambda =2\pi d\!\,}$ (ali s kotno valovno dolžino ${\displaystyle d\!\,}$ – glej Planck-Einsteinova relacija):

${\displaystyle \alpha =\left.{\frac {e_{0}^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}d}}\right/{\frac {hc_{0}}{\lambda }}={\frac {e_{0}^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}d}}{\frac {2\pi d}{hc_{0}}}={\frac {e_{0}^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}d}}{\frac {d}{\hbar c_{0}}}={\frac {e_{0}^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar c_{0}}}\!\,.}$

• ${\displaystyle \alpha \!\,}$ je razmerje med hitrostjo elektrona v prvi orbiti Bohrovega modela atoma in hitrostjo svetlobe v vakuumu:^[15]

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e_{0}^{2}}{\hbar c_{0}}}\!\,.}$

To je Sommerfeldova izvirna fizikalna interpretacija. Po tem je kvadrat ${\displaystyle \alpha \!\,}$ razmerje med Hartreejevo energijo (27,2 eV = dvakratnik Rydbergove energije = približno dvakratnik njegove ionizacijske energije) in mirovno energijo elektrona (511 keV).

• ${\displaystyle \alpha ^{2}\!\,}$ je razmerje med potencialno energijo elektrona v prvi orbiti Bohrovega modela atoma in energijo ${\displaystyle m_{\rm {e}}c_{0}^{2}\!\,}$, ki je enakovredna masi eletrona. Po virialnem izreku v Bohrovem modelu atoma je ${\displaystyle U_{\rm {el}}=2U_{\rm {k}}\!\,}$, kar pomeni:

${\displaystyle U_{\rm {el}}=m_{\rm {e}}v_{\rm {e}}^{2}=m_{\rm {e}}(\alpha c_{0})^{2}=\alpha ^{2}(m_{\rm {e}}c_{0}^{2})\!\,.}$

Dejansko to razmerje izhaja iz hitrosti elektrona, ki je enaka ${\displaystyle v_{\rm {e}}=\alpha c_{0}\!\,}$.

• ${\displaystyle \alpha \!\,}$ je enaka dvema razmerjema treh karakterističnih dolžin: klasičnega polmera elektrona ${\displaystyle r_{\rm {e}}\!\,}$, Comptonove valovne dolžine elektrona ${\displaystyle \lambda _{\rm {e}}\!\,}$ in Bohrovega polmera ${\displaystyle r_{\rm {B}}\!\,}$:

${\displaystyle r_{\rm {e}}={\frac {\alpha \lambda _{\rm {e}}}{2\pi }}=\alpha ^{2}r_{\rm {B}}\!\,.}$

• ${\displaystyle \alpha \!\,}$ je v teoriji QED neposredno povezana s sklopitveno konstanto, ki določa jakost interakcije med elektroni in fotoni.^[16] Teorija ne predvideva njene vrednosti. Zato mora biti ${\displaystyle \alpha \!\,}$ določena eksperimentalno. Dejansko je ${\displaystyle \alpha \!\,}$ ena od empiričnih parametrov v standardnem modelu fizike osnovnih delcev, katere vrednost ni določena znotraj standardnega modela.
• ${\displaystyle \alpha \!\,}$ je v elektrošibki teoriji, ki združuje šibko jedrsko silo in elektromagnetno silo, vključena v druge sklopitvene konstante, ki so povezane z elektrošibkimi umeritvenimi polji. V tej teoriji se elektromagnetna sila obravnava kot mešanica interakcij, ki so povezane z elektrošibkimi polji. Jakost elektromagnetne sile se spreminja z jakostjo energijskega polja.
• konstanta fine strukture ${\displaystyle \alpha \!\,}$ je na področju elektrotehnike in fizike trdnin ena četrtina produkta karakteristične valovne impedance vakuuma ${\displaystyle Z_{0}=\mu _{0}\!\,}$ in kvanta konduktance (prevodljivosti) ${\displaystyle G_{0}=2e_{0}^{2}/h\!\,}$:

${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{4}}Z_{0}G_{0}\!\,.}$

Optična prevodnost grafena za vidne frekvence je teoretično podana kot ${\displaystyle \pi G_{0}/4\!\,}$, in se zato lahko njegova absorpcija svetlobe in značilnosti prenosa izrazijo s pomočjo same konstante fine strukture.^[17] Vrednost absorpcije za normalno vzbujeno svetlobo na grafenu v vakuumu bo potem dana z ${\displaystyle \pi \alpha /(1+\pi \alpha /2)^{2}\!\,}$ ali 97,75 % (eksperimentalno opazovano med 97,6 % in 97,8 %).

• konstanta fine strukture ${\displaystyle \alpha \!\,}$ daje največji pozitivni naboj atomskega jedra, ki bo dovoljeval stabilno elektronsko orbito okrog njega znotraj Bohrovega modela (element feynmanij).^[18] Za elektron, ki kroži okrog atomskega jedra z atomskim številom ${\displaystyle Z\!\,}$, velja ${\displaystyle mn^{2}/r=1/(4\pi \varepsilon _{0})\ Ze_{0}^{2}/\hbar \!\,}$. Heisenbergovo načelo nedoločenosti povezave med nedoločenostjo gibalne količine in lege takšnega elektrona je enako ${\displaystyle mvr=\hbar \!\,}$. Relativistična mejna vrednost za ${\displaystyle v\!\,}$ je ${\displaystyle c_{0}\!\,}$, tako da je mejna vrednost za ${\displaystyle Z\!\,}$ obratna vrednost konstante fine strukture, približno 137.^[19]
• magnetni moment elektrona nakazuje, da naboj kroži na razdalji s polmerom ${\displaystyle r_{\rm {Q}}\!\,}$ s hitrostjo svetlobe.^[20] Tvori sevalno energijo ${\displaystyle m_{\rm {e}}c_{0}^{2}\!\,}$ z vrtilno količino ${\displaystyle \Gamma =1\hbar =r_{\rm {Q}}m_{\rm {e}}c_{0}\!\,}$. Energija polja mirujočega coulombovskega polja je enaka ${\displaystyle m_{\rm {e}}c_{0}^{2}=e_{0}^{2}/(4\pi \varepsilon _{0}r_{\rm {e}})\!\,}$ in določa klasični polmer elektrona ${\displaystyle r_{\rm {e}}\!\,}$. Te vrednosti vnesene v definicijo ${\displaystyle \alpha \!\,}$ dajo ${\displaystyle \alpha =r_{\rm {e}}/r_{\rm {Q}}\!\,}$. Dinamična struktura elektrona je primerljiva s klasično statično predpostavko.
• ${\displaystyle \alpha \!\,}$ je povezana z verjetnostjo, da bo elektron oddal ali absorbiral foton.^[21]
• ${\displaystyle \alpha \!\,}$ je za dva domnevna točkasta delca vsakega s Planckovo maso in osnovnim nabojem, ki ju loči poljubna razdalja, razmerje med njuno elektrostatično odbojno silo in gravitacijsko privlačno silo:

${\displaystyle {\frac {F_{\mathrm {e} }}{F_{\mathrm {g} }}}={\frac {\kappa _{\rm {e}}}{\kappa }}{\frac {e_{0}^{2}}{m_{\rm {P}}^{2}}}={\frac {Z_{0}e_{0}^{2}}{2h}}=\alpha \qquad \left(m_{\rm {P}}={\sqrt {\frac {\hbar c_{0}}{\kappa }}},\quad \alpha =\kappa _{\rm {e}}{\frac {e_{0}^{2}}{\hbar c_{0}}},\quad Z_{0}=\mu _{0}c_{0}\right)\!\,.}$

• ${\displaystyle \alpha \!\,}$ je kvadrat razmerja med osnovnim nabojem in Planckovim nabojem:

${\displaystyle \alpha =\left({\frac {e_{0}}{q_{\rm {P}}}}\right)^{2}\!\,.}$

Kadar se v teorijo QED uporabi teorija motenj, so dobljene perturbativne razširitve za fizikalne rezultate izražene kot množica potenčnih vrst za ${\displaystyle \alpha \!\,}$. Ker je ${\displaystyle \alpha \!\,}$ veliko manjša od 1, so višji redi ${\displaystyle \alpha \!\,}$ kmalu zanemarljivi, tako da je v takšnih primerih teorija motenj praktična. Na drugi strani so zaradi velikih vrednosti odgovarjajočih množiteljev v kvantni kromodinamiki izračuni, ki vključujejo močno jedrsko silo, izredno zahtevni.

Spremenljivost z energijskim nivojem

V teoriji QED v popolnejši teoriji kvantnega polja, na kateri temelji elektromagnetna sklopitev, renormalizacijska grupa narekuje kako jakost elektromagnetne interakcije narašča logaritemsko, ko se veča ustrezni energijski nivo. Vrednost konstante fine strukture ${\displaystyle \alpha \!\,}$ je povezana z opazovano vrednostjo sklopitve, ki je združena z energijskim nivojem mase elektrona – elektron je spodnja meja tega energijskega nivoja, saj je (skupaj s protonom) najlažje nabito telo, katerega kvantne zanke lahko prispevajo k delovanju. Zato je ${\displaystyle 1/137,036\!\,}$ asimptotična vrednost za konstanto fine strukture pri ničelni energiji. Pri višjih energijah, kot je nivo bozona Z, približno 90 GeV, se lahko namesto tega izmeri efektivna vrednost ${\displaystyle \alpha \approx 1/127\!\,}$.^[22]

Ko se energijski nivo veča, se jakost elektromagnetne interakcije v standardnem modelu približuje drugima dvema osnovnima silama. Ta značilnost je pomembna za teorije velikega poenotenja. Če teorija QED ne bi bila eksaktna teorija, bi dejansko konstanta fine strukture divergirala k energiji, znani kot Landaujev pol. To dejstvo spodkopava skladnost teorije QED onstran perturbativnih razširitev.

Zgodovina

Polklasični elektronski eliptični tiri v vodikovem atomu z enako energijo in kvantizirano vrtilno količino z glavnim kvantnim številom ${\displaystyle n=5\!\,}$.

Spomenik Sommerfeldu na Univerzi v Münchnu

Fermi pred tablo, kjer je napačno zapisana enačba ${\displaystyle \alpha =e_{0}^{2}/(\hbar c_{0})\!\,}$, okoli leta 1950

Na podlagi točne meritve spektra vodikovega atoma Michelsona in Morleya leta 1887^[23] je Arnold Sommerfeld razširil Bohrov model atoma, ki je vključeval elektronske eliptične tire in relativistično odvisnost mase od hitrosti. Izraz za konstanto fine strukture je vpeljal leta 1916.^[24] Zanj je bila konstanta ${\displaystyle \alpha \!\,}$ pomembnejša kot samo spektroskopska količina in je predstavljala skrivnostno povezavo med elektromagnetizmom (${\displaystyle \alpha \!\,}$), nastajajočima relativnostjo (${\displaystyle c_{0}\!\,}$) in kvantno mehaniko (${\displaystyle h\!\,}$).

Pred Sommerfeldom sta Max Planck leta 1905 in Albert Einstein leta 1909 opazila, da je razmerje kvadrata osnovnega naboja in hitrosti svetlobe enakega reda in razsežnosti kot Planckova konstanta ${\displaystyle e_{0}^{2}/c_{0}\sim h\!\,}$.^{[25][26][27][lower-alpha 2]}

Prva fizikalna interpretacija konstante fine strukture ${\displaystyle \alpha \!\,}$ je bila razmerje med hitrostjo elektrona v prvi orbiti relativističnega Bohrovega modela atoma in hitrostjo svetlobe v vakuumu.^[28] Enakovredno je bila količnik med najmanjšo vrtilno količino, ki jo relativnost dovoljuje za sklenjeni tir, in najmanjšo vrtilno količino, ki jo zanj dovoljuje kvantna mehanika. V Sommerfeldovi analizi se pojavlja naravno in določa velikost razcepa ali fino strukturo vodikovih spektralnih črt.

Drugače kot tak Sommerfeldov model ni obveljal, ker ni upošteval spina elektrona.^[29] Konstanta ni bila pomembna vse do Diracove relativistične valovne enačbe leta 1928, ki daje eksaktno formulo za fino strukturo.^[30]:407 Paul Dirac je verjel, da je osnovni naboj čisto kvantni pojav in ga v klasični mehaniki ni moč izpeljati.^[31]:1 Wheeler je v geometrodinamskem opisu osnovnega naboja leta 1968 gledal na naboje le kot na silnice ujete v »črvinah«.^[31]:80[32]

Z razvojem teorije QED se je pomembnost konstante fine strukture ${\displaystyle \alpha \!\,}$ razširila od spektroskopskega fenomena k splošni sklopitveni konstanti za elektromagnetno polje, ki določa jakost interakcije med elektroni in fotoni. Izraz ${\displaystyle \alpha /2\pi \!\,}$ je vklesan v nagrobnik enega od pionirjev teorije QED Juliana Schwingerja in se nanaša na njegov izračun anomalnega magnetnega dipolnega momenta elektrona leta 1948.^[33]

Zgodovina meritev

zaporedne vrednosti konstante fine strukture^[34][35]

datum	${\displaystyle \alpha \!\,}$	${\displaystyle 1/\alpha \!\,}$	${\displaystyle u_{\rm {r}}\!\,}$ ${\displaystyle \cdot 10^{-12}\!\,}$	viri
1969 julij	0,007 297 351(11)	137,036 02(21)		CODATA 1969[36]
1973	0,007 297 346 1(81)	137,036 12(15)	820.000	CODATA 1973[37]
1974 marec		137,036 11(21)		Lorents (1974)[38]
1987 januar	0,007 297 353 08(33)	137,035 989 5(61)	45.000	CODATA 1986[39]
1998	0,007 297 352 582(27)	137,035 998 83(51)	45.000	Kinoshita, Nio (2006)[40]
2000 april	0,007 297 352 533(27)	137,035 999 76(50)	3.700	CODATA 1998[41]
2002	0,007 297 352 568(24)	137,035 999 11(46)	3.300	CODATA 2002[42]
2007 julij	0,007 297 352 570 0(52)	137,035 999 070(98)		Gabrielse idr.(2007)[43]
2008 2. junij	0,007 297 352 537 6(50)	137,035 999 679(94)	680	CODATA 2006[44]
2008 julij	0,007 297 352 569 2(27)	137,035 999 084(51)		Gabrielse (2008),[45] Hanneke, Fogwell, Gabrielse (2008)[46]
2010 december	0,007 297 352 571 7(48)	137,035 999 037(91)		Bouchendira idr. (2011)[13]
2011 junij	0,007 297 352 569 8(24)	137,035 999 074(44)	320	CODATA 2010
2013 26. maj		137,035 999 044(90)	660	Bouchendira idr. (2013)[29]
2015 25. junij	0,007 297 352 566 4(17)	137,035 999 139(31)	230	CODATA 2014
2017 10. julij	0,007 297 352 565 7(18)	137,035 999 150(33)		Aoyama idr. (2018)[47]
2018 12. december	0,007 297 352 571 3(14)	137,035 999 046(27)	200	Parker idr. (2018)[6] Yu idr. (2019)[11]
2019 20. maj	0,007 297 352 569 3(11)	137,035 999 084(21)	151	CODATA 2018[8]
2020 2. december	0,007 297 352 562 8(6)	137,035 999 206(11)	81	Morel idr. (2020)[14]

Vrednosti CODATA v razpredelnici so izračunane srednje vrednosti drugih meritev in niso rezultat neodvisnih poskusov.

Možna spremenljivost s časom

Več informacij: časovna spremenljivost osnovnih konstant

Fiziki so razmislili ali je konstanta fine strukture dejansko konstanta ali se njena vrednost spreminja časovno in krajevno. Spremenljivo konstanto fine strukture ${\displaystyle \alpha \!\,}$ so predlagali kot eno od rešitev nekaterih tedanjih problemov kozmologije in astrofizike.^{[48][49][50][51]} Teorija strun in drugi predlogi za razširitev standardnega modela fizike osnovnih delcev so vodili v teoretično zanimanje ali se sprejete fizikalne konstante (in ne samo ${\displaystyle \alpha \!\,}$) dejansko spreminjajo. Na primer osnovni naboj ${\displaystyle e_{0}\!\,}$.^[52][53]

Po Hubbleovem odkritju širjenja Vesolja leta 1929 so se v 1930-ih pojavile prve tovrstne zamisli o nespremenljivosti ${\displaystyle \alpha \!\,}$ in zasledovale cilj ohranjanja statičnega modela Vesolja s spreminjanjem osnovnih konstant. Tako sta brata John Alan in Bruce Chalmers leta 1935 v članku predlagala razlago opaženega rdečega premika spektralnih črt galaksij zaradi hkratnega povečanja osnovnega naboja in Planckove konstante, kar bi moralo voditi tudi do časovne spremenljivosti ${\displaystyle \alpha \!\,}$.^[54] V številnih drugih publikacijah so predvideli nespremenljivost konstante fine strukture s hkratno spremenljivostjo konstant, ki jo sestavljajo.^{[55][56][57][58]}

Dirac je leta 1938 v okviru svoje domneve velikih števil predložil zamisel, da se lahko gravitacijska konstanta spreminja v obratnem sorazmerju s časom ${\displaystyle \kappa (1/t)\!\,}$:^[59][60]:9

${\displaystyle {\frac {1}{\kappa }}{\frac {\mathrm {d} \kappa }{\mathrm {d} t}}=-3H_{0}\!\,.}$

V svoji razpravi je menil, da je ${\displaystyle \alpha \!\,}$ resnična konstanta, vendar je opozoril, da v prihodnosti morda ne bo tako. Njegovo delo je vzbudilo veliko zanimanje za to težavo, ki se nadaljuje še danes. Po Diracu je vprašanje konstante fine strukture obravnaval Ernst Pascual Jordan in prišel do zaključka, da bi odvisnost ${\displaystyle \alpha \!\,}$ od časa ${\displaystyle \kappa (t)\!\,}$ morala povzročiti kompleksne premike spektralnih črt.^[61] Ker takšnih premikov niso opazili, je to domnevo zavrnil. Priznal je tudi, da sta mu George Gamow in Edward Teller v pismih vzbudila dvom o zmanjševanju gravitacijske konstante, saj bi se zaradi tega zmanjšal tudi izsev mladega Sonca. Poleg tega bi se podobno zmanjševali izsevi vseh zvezd v zgodnjem Vesolju, kar pa vse do rdečega premika ${\displaystyle z=6\!\,}$ niso opazili.^[62]

Leta 1948 je Teller, ko je poskušal ovreči Diracovo domnevo, omenil možnost logaritemske odvisnosti ${\displaystyle 1/\alpha \sim \ln T\!\,}$, kjer je ${\displaystyle T\!\,}$ starost Vesolja.^[63] Podobna razmerja so predlagali kasneje.^[64][65]

Vprašanje časovnega spreminjanja konstantne fine strukture so leta 1967 resno preskusili. Pobudnik je bil Gamow, ki je zavrnil sprejeti Diracovo zamisel o spremembi gravitacijske konstante in jo nadomestil z domnevo o spreminjanju osnovnega naboja ${\displaystyle e_{0}^{2}\sim t\!\,}$ in posledično ${\displaystyle \alpha \sim t\!\,}$.^[50] Pokazal je tudi, da je to predpostavko mogoče preveriti z opazovanjem fine strukture spektrov oddaljenih galaksij. Nasprotovanje domneve Gamowa jedrsko-fizikalne in geološke narave sta podala Freeman Dyson in Asher Peres.^[66][67] Neposredni eksperimentalni test domneve Gamowa sta naredila John Bahcall in Maarten Schmidt.^[68] Izmerila sta valovne dolžine dvojnikov fine cepitve emisijskih črt O III petih radijskih galaksij z rdečim premikom ${\displaystyle \Delta \lambda /\lambda =z\approx 0,2\!\,}$, kar odgovarja obdobju pred približno 2 milijardama let. Iz poskusa je sledilo razmerje izmerjene vrednosti konstante fine strukture in njene laboratorijske vrednosti z verjetno napako ${\displaystyle \alpha _{z}/\alpha _{\text{lab}}=1,001\pm 0,002\!\,}$, kar je v nasprotju z napovedjo ${\displaystyle \alpha _{z}/\alpha _{\text{lab}}=0,8\!\,}$ v primeru časovne spremenljivosti ${\displaystyle \alpha \sim t\!\,}$.^[69] Gamow je hitro priznal svoj poraz.^[53]

V poskusih spodaj ${\displaystyle \Delta \alpha (\equiv \mathrm {d} \alpha /\mathrm {d} t)\!\,}$ predstavlja časovno spremembo ${\displaystyle \alpha \!\,}$ , ki se lahko izračuna kot ${\displaystyle \alpha _{\rm {p}}-\alpha _{\rm {s}}\!\,}$. Če je konstanta fine strukture res konstanta, mora poskus pokazati, da velja:

${\displaystyle {\frac {\Delta \alpha }{\alpha }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\alpha _{\rm {p}}-\alpha _{\rm {s}}}{\alpha _{\rm {s}}}}=0\!\,,}$

ali najbliže ničli kolikor se lahko v poskusu izmeri. Vsaka vrednost različna od nič bi nakazovala, da se ${\displaystyle \alpha \!\,}$ res spreminja s časom. Do sedaj je večina eksperimentalnih podatkov skladna s tem, da je ${\displaystyle \alpha \!\,}$ konstanta.

Pretekla stopnja spremenljivosti

V prvih poskusih testov ali se konstanta fine strukture morda spreminja so preučili sprektralne črte oddaljenih astronomskih teles in produkte radioaktivnega razpada v naravnem jedrskem reaktorju v gabonski regiji Oklo. Rezultati so v skladu z nespremenljivo konstanto fine strukture med tema dvema močno ločenima krajema in časoma.^{[70][71][72][73][74][75][76]} Vse to delo je omogočilo, da se je postavilo zelo stroge omejitve možne stopnje in narave spreminjanja ${\displaystyle \alpha \!\,}$ in drugih osnovnih konstant.

Izboljšana tehnologija v začetku 21. stoletja je omogočila preskusiti vrednost ${\displaystyle \alpha \!\,}$ na veliko večjih razdaljah in z veliko večjo točnostjo. Leta 1996 je skupina, ki jo je vodil John Kelvin Webb z Univerze Novega Južnega Walesa (UNSW), trdila, da je zaznala spremembo ${\displaystyle \alpha \!\,}$.^{[77][78][79][80]} S pomočjo Keckovih daljnogledov in zbira podatkov 128-ih kvazarjev pri rdečih premikih ${\displaystyle 0,5<z<3\!\,}$ so Webb in sodelavci odkrili, da so bili njihovi spektri v skladu z rahlim povišanjem ${\displaystyle \alpha \!\,}$ v zadnjih 10 do 12 milijard letih. Še posebej so odkrili, da velja:

${\displaystyle {\frac {\Delta \alpha }{\alpha }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\alpha _{\rm {p}}-\alpha _{\rm {s}}}{\alpha _{\rm {s}}}}=\left(-5,7\pm 1,0\right)\cdot 10^{-6}\!\,.}$

To z drugimi besedami pomeni, da so izmerili vrednost med −0,0000047 in −0,0000067. To je zelo majhna vrednost, vendar stolpci napak dejansko ne vključujejo ničle. Ta rezultat nakazuje, da ali ${\displaystyle \alpha \!\,}$ ni konstanta ali, da obstaja neupoštevana eksperimentalna napaka.

Prav tako so raziskali posledice možnega spreminjanja konstante fine strukture za kozmologijo.^[81]

Leta 2004 majhna raziskava Chanda in sodelavcev 23 absorpcijskih sistemov s pomočjo spektrografa UVES na enem od štirih daljnogledov Zelo velikega daljnogleda (VLT) na Observatoriju Paranal ni odkrila merljive spremembe:^[82][83]

${\displaystyle {\frac {\Delta \alpha }{\alpha _{\rm {em}}}}=\left(-0,6\pm 0,6\right)\cdot 10^{-6}\!\,.}$

Leta 2007 so prepoznali enostavne pomanjkljivosti v analitični metodi Chanda in sodelavcev, kar je vodilo do izgube zaupanja v njihove rezultate.^[84][85]

King in sodelavci so uporabili metode verige Markova Monte Carlo za raziskavo algoritma, ki ga je rabila skupina UNSW za določitev ${\displaystyle \Delta \alpha /\alpha \!\,}$ iz spektrov kvazarjev, in ugotovili, da algoritem daje pravilne negotovosti in najverjetnejše ocene za ${\displaystyle \Delta \alpha /\alpha \!\,}$ za posebne modele.^[86] To namiguje, da so statistične negotovosti in najboljša ocena za ${\displaystyle \Delta \alpha /\alpha \!\,}$, ki so jih podali Webb s sodelavci in Murphy s sodelavci, grobe.

Fizika Lamoreaux in Torgerson iz Narodnega laboratorija Los Alamos sta leta 2004 analizirala podatke iz naravnega jedrskega reaktorja Oklo in zaključila, da se je ${\displaystyle \alpha \!\,}$ v zadnjih 2 milijardah letih spremenila za 45 delov na milijardo. Trdila sta, da je bilo to odkritje »verjetno točno do 20 %«. Točnost je odvisna od ocene nečistoč in temperature v naravnem reaktorju. Te zaključke bi bilo treba preveriti.^{[87][88][89][90]}

Leta 2007 sta Khatri in Wandelt z Univerze Illinoisa ugotovila, da 21 cm hiperfini prehod v nevtralnem vodiku zgodnjega Vesolja pušča edinstveni odtis absorpcijske črte na prasevanje.^[91] Predlagala sta uporabo tega pojava za merjenje ${\displaystyle \alpha \!\,}$ med obdobjem pred tvorbo prvih zvezd. Načeloma ta tehnika zagotavlja dovolj informacij za merjenje spremembe enega dela v 10⁹ (4. rede velikosti bolje od trenutnih kvazarskih omejitev). Vendar je omejitev, ki se lahko poveže z ${\displaystyle \alpha \!\,}$, močno odvisna od efektivnega integracijskega časa z odvisnostjo ${\displaystyle 1/t^{2}\!\,}$. Evropski radijski daljnogled LOFAR bi lahko omejil vrednost ${\displaystyle \Delta \alpha /\alpha \!\,}$ na približno 0,3 %.^[91] Zbiralna površina za omejitev vrednosti ${\displaystyle \Delta \alpha /\alpha \!\,}$ na trenutni nivo kvazarskih omejitev je reda 100 kvadratnih kilometrov, kar je trenutno ekonomsko neizvedljivo.

Trenutna stopnja spremenljivosti

Leta 2008 so Rosenband in sodelavci uporabili frekvenčno razmerje Al⁺ in Hg⁺ v enoionskih optičnih atomskih urah za zelo strogo omejitev trenutne časovne spremembe ${\displaystyle \alpha \!\,}$, ${\displaystyle \left(\mathrm {d} \alpha /\mathrm {d} t\right)/\alpha =(-1,6\pm 2,3)\cdot 10^{-17}\!\,}$ na leto.^[92] Upoštevati je treba, da vsaka trenutna ničelna omejitev na časovno spremembo ${\displaystyle \alpha \!\,}$ še ne izključuje časovne spremembe v preteklosti. Res nekatere teorije, ki predvidevajo spremenljivo konstanto fine strukture, predvidevajo tudi, da bo vrednost konstante fine strukture postala praktično nespremenljiva, ko bo Vesolje prešlo v trenutno obdobje prevladujoče temne energije.^[81]

Leta 2014 sta dve skupini raziskovalcev pod vodstvoma Patricka Gilla (Narodni fizikalni laboratorij (NPL), Združeno kraljestvo) in Ekkeharda Peika (Fizikalno-tehniška zvezna agencija (PTB), Nemčija) poročali o novih, točnejših laboratorijskih mejah stopnje spremembe konstante fine strukture. Točne meritve frekvenc nekaterih kvantnih prehodov v iterbijevih ionih (¹⁷¹Yb⁺) so jim omogočile, da sta dosegli naslednji mejni vrednosti sodobnega spreminjanja ${\displaystyle \alpha \!\,}$: ${\displaystyle -0,7\cdot 10^{-17}\!\,}$ na leto in ${\displaystyle -0,2\cdot 10^{-16}\!\,}$ na leto.^[93]

Leta 2018 so objavili podatke meritev z radijskim daljnogledom Arecibo dveh sorodnih črt skupine OH pri valovni dolžini 18 cm v spektru galaktičnega radijskega vira PKS 1413 + 135 (z rdečim premikom približno 0,247). Zaradi različne odvisnosti premika črte od konstante fine strukture ${\displaystyle \alpha \!\,}$ in razmerja mase protona in elektrona ${\displaystyle \mu =m_{\rm {p}}/m_{\rm {e}}\!\,}$ je bilo mogoče z dobro točnostjo ugotoviti, da se zveza ${\displaystyle \mu \alpha ^{2}\!\,}$ ni spremenila vsaj zadnjih 2,9 milijard let.^[94][95]

Metaanaliza astrofizikalnih opazovanj iz leta 2017 je pokazala uteženi povprečni odklon konstante fine strukture od njene sedanje vrednosti ${\displaystyle \Delta \alpha /\alpha =(-0,64\pm 0,65)\cdot 10^{-6}\!\,}$, kar se ujema s predpostavko ničelnega spreminjanja konstante.^[96]:7 Skupna analiza rezultatov najnovejših in najzanesljivejših laboratorijskih spektroskopskih meritev za leto 2017 v sistemih, kot so atomske ure, daje za trenutno stopnjo časovnega spreminjanja konstante fine strukture vrednost ${\displaystyle \mathrm {d} \ln \alpha /\mathrm {d} t=(-2,2\pm 2,4)\cdot 10^{-17}\!\,}$ na leto, kar kaže, da na razpoložljivi stopnji točnosti ni sprememb.^[96]:13

Glede na teoretične razlage možne spremenljivosti ${\displaystyle \alpha \!\,}$ in drugih osnovnih konstant sodobni pristopi praviloma temeljijo na uvedbi dodatnih skalarnih polj, katerih uporaba nalaga omejitve možnih kozmoloških scenarijev in v nekaterih primerih omogoča hkraten opis temne energije. Primeri takšnih modelov, ki omogočajo upoštevanje spremenljivosti konstante fine strukture in jim na podlagi kozmoloških vidikov nalagajo omejitve, so Bekensteinovi modeli, dilaton, simetron in modeli teorije strun.^[96]:14–33

Krajevna spremenljivost – avstralski dipol

Septembra 2010 so raziskovalci iz Avstralije poročali, da so identificirali strukturo, podobno dipolu, v spremembi konstante fine strukture po opazljivem vesolju. Uporabili so podatke o kvazarjih, pridobljenih z VLT, v kombinaciji s prejšnjimi podatki, ki so jih pridobili Webb in sodelavci na Keckovih daljnogledih. Izgleda, da je konstanta fine strukture večja za en del na 100.000 v smeri južnega ozvezdja Oltar pred 10-imi milijardami let. Podobno se zdi konstanta manjša za podobni del v smeri severa pred enakim časom.^{[97][98][99][100]}

Septembra in oktobra 2010 po tem, ko so Webb in sodelavci objavili raziskavo, sta fizika Chad Orzel in Sean Michael Carroll predlagala več pristopov k temu, da so Webbova opazovanja lahko napačna. Orzel je zatrdil, da lahko raziskava vsebuje napačne podatke zaradi majhnih razlik v dveh daljnogledih, kjer je bil zbir podatkov iz enega daljnogleda malo višji in drugi malo manjši, tako da se po prekritju med seboj izničujeta.^[101] Sumljivo se mu je zdelo, da so viri, ki kažejo največje spremembe, opaženi z enim daljnogledom, na območju, opazovanem z obema daljnogledoma, poravnanima tako dobro z viri, pa spremembe ni bilo opažene. Carroll je predlagal, popolnoma drugi pristop – na konstanto fine strukture je gledal kot skalarno polje in trdil, da, če opazovanja z daljnogledoma niso napačna, in, če se konstanta fine strukture gladko spreminja po Vesolju, mora imeti skalarno polje zelo majhno maso.^[102] Zgodnji kritiki teh dveh znanstvenikov kažeta na dejstvo, da so za potrditev ali ovržbo rezultatov potrebne različne tehnike, kar so v svoji raziskavi zaključili tudi Webb in sodelavci.

Oktobra 2011 so Webb in sodelavci poročali o spremembi ${\displaystyle \alpha \!\,}$, ki je odvisna tako od rdečega premika kot od prostorske smeri.^[98] Poročali so, da » se kombinirani zbir podatkov ujema s prostorskim dipolom« s povečanjem ${\displaystyle \alpha \!\,}$ s povečanjem rdečega premika v eni smeri in zmanjšanjem v drugi smeri. »Neodvisni vzorci iz VLT in Keckov dajejo skladne dipolne smeri in amplitude...«

Aprila 2020 je skupina preverila svoje predhodne rezultate in odkrila dipolno strukturo v jakosti elektromagnetne sile s pomočjo meritev najbolj oddaljenih kvazarjev. Opazovanja do tedaj najbolj oddaljenega kvazarja ULAS J1120+0641 v ozvezdju Leva z rdečim premikom ${\displaystyle z=7,085\!\,}$, odkritega leta 2011, iz Vesolja starega le 0,8 milijarde let z novo metodo analize UI, uporabljene na VLT, so odkrila prednostno prostorsko spremembo ${\displaystyle \Delta \alpha /\alpha =(\alpha _{\rm {z}}-\alpha _{0})/\alpha _{0}=(-2,18\pm 7,27)\cdot 10^{-5}\!\,}$ pred nespremenljivostnim modelom na nivoju ${\displaystyle 3,9\sigma \!\,}$.^[103][104]

Možnosti takšnega prostorskega spreminjanja ${\displaystyle \alpha \!\,}$ in drugih osnovnih konstant se še naprej raziskujejo.^{[105][106][107][108]} Kljub temu je še prezgodaj za kakršne koli dokončne zaključke o odkrivanju takšnih vplivov. Nedavni podatki prav tako ne podpirajo želene spremenljivosti za ${\displaystyle \alpha \!\,}$ (prostorskega dipola).^[96]:11

Obstajajo tudi domneve, ki kažejo na spremenljivost konstante fine strukture v močnih gravitacijskih poljih. Leta 2020 so zaposleni na pariškem observatoriju in številnih organizacijah v ZDA, Avstraliji in na Japonskem objavili rezultate analize emisijskih spektrov petih zvezd, ki se gibljejo v bližini supermasivne črne luknje v središču krajevne Galaksije Strelec A*. Meritve so pokazale, da odstopanja vrednosti ${\displaystyle \alpha \!\,}$, ki jih povzroči močna gravitacija, ne presegajo ${\displaystyle 10^{-5}\!\,}$ od znane vrednosti, kar nalaga najstrožje omejitve tovrstnih teoretičnih predpostavk.^{[109][110][111]}

Antropična razlaga

Antropično načelo je sporni argument, zakaj ima konstanta fine strukture takšno vrednost, kot jo ima – stabilna snov in zaradi tega življenje in inteligentna bitja ne morejo obstajati, če bi bila njena vrednost precej različna. Če bi bila ${\displaystyle \alpha \!\,}$ večja za 4 %, zvezdno jedrsko zlivanje ne bi tvorilo ogljika, tako da življenje na podlagi ogljika ne bi bilo mogoče. Če bi bila ${\displaystyle \alpha \!\,}$ večja za 0,1, jedrsko zlivanje v notranjosti zvezd ne bi bilo mogoče, in nobeno mesto v Vesolju ne bi bilo dovolj toplo za življenje, kot je poznano.^{[112][lower-alpha 3]}

Numerološke razlage in teorija mnogovesolij

Zgodnji poskusi

Kot brezrazsežna konstanta, ki, kot izgleda, ni neposredno povezana s kakšno matematično konstanto, konstanta fine strukture že dolgo časa osuplja fizike. Bilo je veliko poskusov, da bi jo izrazili izključno z matematičnimi količinami ali izračunali na podlagi kakršnih koli drugih fizikalnih premislekov. Tako sta leta 1914 Gilbert Newton Lewis in Elliot Quincy Adams, začenši z izrazom za Stefanovo konstanto, po nekaterih predpostavkah izrazila Planckovo konstanto v smislu električnega naboja elektronov in hitrosti svetlobe:^[114]

${\displaystyle h={\frac {(4\pi e_{0})^{2}}{c_{0}}}\left({\frac {8\pi ^{5}}{15}}\right)^{1/3}\!\,.}$

Če se iz njune formule sestavi konstanto fine strukture, ki takrat še ni bila znana, izhaja:^{[30]:400–401}

${\displaystyle {\frac {hc_{0}}{2\pi e_{0}^{2}}}={\frac {1}{\alpha }}\approx 8\pi \left({\frac {8\pi ^{5}}{15}}\right)^{1/3}=137,348\ 068\ 633\ 978\ldots \!\,.}$

Lewisovo in Adamsovo delo ni ostalo neopaženo in ga je prevzelo več drugih znanstvenikov.^{[30]:401–402} Herbert Stanley Allen je v svojem članku leta 1914 izrecno zgradil zgornjo brezrazsežno količino (ki jo je označil s ${\displaystyle q\!\,}$) in jo poskušal povezati z velikostjo električnega naboja in maso elektrona.^[115] Izpostavil je tudi približno razmerje med masama elektrona in protona ${\displaystyle m_{\rm {e}}/m_{\rm {p}}\approx 10\alpha ^{2}\!\,}$. Leta 1922 je Arthur Constant Lunn predlagal, da je konstanta fine strukture nekako povezana z jedrskim masnim defektom, ter upošteval tudi njeno možno povezavo z gravitacijo s pomočjo zveze:^[116]

${\displaystyle {\frac {\kappa m^{2}}{e_{0}^{2}}}={\frac {\alpha ^{17}}{2048\pi ^{6}}}\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle \kappa \!\,}$ gravitacijska konstanta. Poleg tega je predlagal nekaj povsem algebrskih izrazov za ${\displaystyle \alpha \!\,}$, in sicer:^[117]:458

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &\approx {\frac {\pi }{2^{4}\cdot 3^{3}}}={\frac {1}{137,509\ 870\ 831\ 397\ldots }}\\&\approx {\frac {7}{\pi ^{6}}}={\frac {1}{137,341\ 313\ 367\ 900\ldots }}\\&\approx {\frac {32}{45\pi ^{4}}}={\frac {1}{136,981\ 534\ 266\ 565\ldots }}\\&\approx {\frac {3^{2}}{5^{3}\pi ^{2}}}={\frac {1}{137,077\ 838\ 904\ 018\ldots }}\!\,.\end{aligned}}}$

Prvi izraz je zapisal tudi Heisenberg leta 1934 v pismu Nielsu Bohru.^[117]:458

Prvi poskus, da bi konstanto fine strukture povezal s parametri Vesolja, je leta 1925 naredil James Rice, profesor fizike na Univerzi v Liverpoolu, ki je bil zelo navdušen nad delom Arthurja Stanleyja Eddingtona o združitvi splošne teorije relativnosti z elektromagnetizmom.^{[30]:406[118]} Rice je v svojem prvem prispevku predstavil izraz, ki povezuje ${\displaystyle \alpha \!\,}$ s polmerom ukrivljenosti Vesolja ${\displaystyle R\!\,}$, vendar je kmalu odkril veliko napako v svojih izračunih in je v naslednjem pismu predstavil popravljeno različico razmerja, in sicer:^[119]

${\displaystyle {\frac {2\pi }{\alpha }}={\frac {r_{\rm {e}}^{2}}{6R\rho }}\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle r_{\rm {e}}\!\,}$ elektromagnetni polmer elektrona, ${\displaystyle \rho \!\,}$ gravitacijski polmer elektrona. Za polmer vesolja ${\displaystyle R=1,06\cdot 10^{24}\,{\text{m}}\!\,}$, je Rice dobil vrednost ${\displaystyle 1/\alpha =133\!\,}$.

Ettore Majorana je leta 1928 iz premislekov o kvantizaciji gibalne količine pri interakciji dveh elektronov in Coulombovega zakona za konstanto fine strukture dobil vrednost ${\displaystyle \alpha =1/2\!\,}$.^[120]

Eddingtonova teorija

Za Eddingtona je bilo vprašanje izpeljave konstante fine strukture eden izmed posebnih problemov njegovega raziskovalnega programa za izgradnjo temeljne teorije, ki bi lahko povezovala atomske in kozmične veličine. Med letoma 1929 in 1932 je objavil vrsto člankov, namenjenih teoretičnemu izračunu konstante ${\displaystyle \alpha \!\,}$, ki po njegovem mnenju izraža določeno število prostostnih stopenj elektronov in mora biti zato celo število.^{[121][122][123][124][125]:263–267} Trdil je, da se vrednost konstante fine strukture lahko »dobi s čistim sklepanjem«, in jo je povezal s pojmom Eddingtonovega števila, njegovo oceno števila barionov v Vesolju.^[126] Najprej je leta 1929 domneval, da obratna vrednost konstante fine strukture ni približno enaka, ampak točno enaka celemu številu 136:^[60]:4

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{16+16(16-1)/2}}={\frac {1}{136}}\!\,.}$

Kasneje je k tej vrednosti dodal vrednost druge enote, ki jo povezuje z načelom nerazločljivosti delcev. Število ${\displaystyle 1/\alpha =136\!\,}$ je povezal tudi z razmerjem med maso protona in elektrona ${\displaystyle m_{\rm {p}}/m_{\rm {e}}\!\,}$, ki mora po njegovi domnevi biti enako razmerju ničel kvadratne enačbe:

${\displaystyle 10x^{2}-136xm'+m'^{2}=0\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle m'\!\,}$ določena »standardna masa«. Iz rešitve te enačbe je sledilo ${\displaystyle m_{\rm {p}}/m_{\rm {e}}=1847,6\!\,}$ (tedanja znana eksperimentalna vrednost je bila ${\displaystyle 1834,1\!\,}$). Eddington je konstanto fine strukture povezal s kozmičnimi konstantami, zlasti z Eddingtonovim številom. Tako je na primer v okviru modela statičnega zaprtega vesolja dobil:

${\displaystyle 2\pi {\frac {mc_{0}\alpha }{h}}={\frac {\sqrt {N}}{R}}\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle R\!\,}$ polmer Vesolja in ${\displaystyle N\!\,}$ število elektronov v njem. Eddingtonovi argumenti so bili za večino fizikov nerazumljivi in ​​prav tako malo prepričljivi, čeprav je njegova teorija pritegnila določeno zanimanje znanstvene skupnosti. Ker se rezultati meritev niso skladali s takšno vrednostjo, je domneval, da je točno enaka številu 137.^[127] Do 1940-ih so se eksperimentalne vrednosti za ${\displaystyle 1/\alpha \!\,}$ že precej razlikovale tudi od vrednosti 137, kar je spodbijalo Eddingtonove argumente.^[30] Raymond Thayer Birge, eden glavnih Eddingtonovih nasprotnikov, je leta 1941 predlagal naslednje razmerje:^[128]

${\displaystyle \alpha \approx 4\pi R_{\infty }{\frac {F}{N_{\rm {A}}}}{\frac {e}{m}}={\frac {1}{137,030\ldots }}\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle R_{\infty }}$ Rydbergova konstanta za primer neskončne mase jedra, ${\displaystyle F\!\,}$ Faradayeva konstanta in ${\displaystyle N_{\rm {A}}\!\,}$ Avogadrova konstanta.^{[30]:411–415}

Drugi poskusi

Čeprav so nekateri vodilni fiziki (Sommerfeld, Schrödinger, Jordan) pokazali zanimanje za Eddingtonovo teorijo, je težava neujemanja s poskusom kmalu postala jasna; poleg tega je bilo težko razumeti Eddingtonovo metodiko. Kot je povedal Wolfgang Pauli, je bilo bolj podobno »romantični poeziji, ne fiziki.«^{[30]:416–418[125]:263–267} Kljub temu je Eddingtonova teorija porodila številne privržence, ki so predlagali svoje bolj ali manj špekulativne pristope k analizi izvora konstante fine strukture.^{[30]:419–422} Tako je leta 1929 Vladimir Rožanski dejansko »ponovno odkril« Allenovo razmerje med masama protona in elektrona iz leta 1914.^[129] Enos Witmer je predlagal razmerje med masami atomov helija in vodika v obliki:^[130]

${\displaystyle {\frac {m_{\rm {He}}}{m_{\rm {H}}}}=\left({\frac {Z_{\rm {He}}}{Z_{\rm {H}}}}\right)^{2}{\frac {1}{1+\alpha }}={\frac {4}{1+\alpha }}\!\,.}$

Podobne poskuse povezovanja ${\displaystyle \alpha \!\,}$ z drugimi konstantami narave (zlasti ${\displaystyle m_{\rm {p}}/m_{\rm {e}}\!\,}$) so v tem času naredili Wilhelm Anderson, Reinhold Fürth, Arthur Erich Haas, Alfred Landé in drugi.^{[131][132][133][134]} Walter Glaser in Kurt Sitte sta določila največjo količino kemičnih elementov kot ${\displaystyle Z<{\sqrt {2}}/(c_{0}\alpha )<97\!\,}$.^[135]

Veliko število takšnih del je spodbudilo Axela Corlina, J. S. Steina, Guida Becka, Hansa Betheja in Wolfganga Riezlerja, da so v revijo Die Naturwissenschaften poslali članek Komentar o kvantni teoriji absolutne ničle.^[136] Njihov članek je parodiral iskanje numeroloških formul za fizikalne konstante in ponudil »razlago« za dejstvo, da je konstanta fine strukture približno enaka ${\displaystyle -2/(T_{0}-1)\!\,}$, kjer je ${\displaystyle T_{0}=-273,15\,^{\circ }\!\!{\text{ C }}\!\,}$ absolutna ničla. Uredništvo revije se ni zavedalo parodijske narave zapisa in ga je objavilo na straneh publikacije. Ko je bila resnica razkrita, je šala razjezila urednika revije Arnolda Berlinerja, zato je bil Bethe na Sommerfeldovo vztrajanje prisilljen opravičiti se za svoje dejanje.^[30]:421

Po odkritju miona leta 1936 so se pojavile špekulativne domneve o povezavi novega delca s konstantami narave. Po Patricku Blackettu je možna povezava med gravitacijo in življenjsko dobo miona v obliki:^[137]

${\displaystyle \tau \approx {\dfrac {\alpha e_{0}^{3}}{m_{\mu }mc_{0}^{3}{\sqrt {\kappa }}}}\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle m_{\mu }\!\,}$ masa miona. Henry Thomas Flint je na podlagi premislekov o 5-razsežni razširitvi splošne teorije relativnosti podal razmerje ${\displaystyle m_{\mu }\approx m_{\rm {e}}/\alpha \!\,}$.^[138] Novejši poskusi vključujejo izključno numerološko razmerje med masama protona in elektrona, ki ga je leta 1951 v zelo kratki opombi predstavil Friedrich Lenz, in se je glasilo ${\displaystyle m_{\rm {p}}/m_{\rm {e}}=6\pi ^{5}=1836,118\!\,}$.^[139] Za konstantno fine strukture so predlagali različne numerološke (»pitagorejske«) formule.^{[125]:272–274} Leta 1952 je Joičiro Nambu poudaril, da je mogoče maso osnovnih delcev, težjih od elektrona, opisati z naslednjo empirično formulo:

${\displaystyle m={\dfrac {(n+1)m_{\rm {e}}}{2\alpha }}\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle n\!\,}$ celo število. Za ${\displaystyle n=2\!\,}$ na primer izhaja masa miona (${\displaystyle 206m_{\rm {e}}\!\,}$), za ${\displaystyle n=3\!\,}$ masa piona (${\displaystyle 274m_{\rm {e}}\!\,}$) in za ${\displaystyle n=26\!\,}$ približna masa nukleonov (${\displaystyle 1849m_{\rm {e}}\!\,}$).^[140]

Konstanta fine strukture je tako vzbudila Paulijevo zanimanje, da je sodeloval s Carlom Gustavom Jungom v prizadevanju razumevanja njenega pomena.^[141]

Pristopi teorije polja

Bolj znanstveno utemeljeni so bili poskusi izračuna vrednosti konstante fine strukture, ki sta jih izvedla Max Born in Werner Heisenberg na podlagi posploševanja obstoječih teorij polja.^{[30]:424–426} Podobno je Born verjel, da če bi se vrednost ${\displaystyle \alpha \!\,}$ razlikovala, bi se Vesolje izrodilo, in je tako zaradi tega ${\displaystyle 1/\alpha \!\,}$ naravni zakon.^[113] Z uporabo svojega pristopa, ki temelji na »načelu vzajemnosti«, je do konca 1940-ih lahko dobil le oceno, ki je dala vrednost ${\displaystyle 1/\alpha =102,5\!\,}$.^{[142][143][144]} Heisenberg je v okviru svoje nelinearne teorije polja uspel doseči tudi ujemanje z eksperimentalno vrednostjo konstante le po velikosti.^[145][146]

Analiza značilnosti renormalizacijske grupe teorije QED in zlasti značilnosti funkcije beta QED še ni omogočila razlage opažene vrednosti konstante fine strukture. Algebrske izraze za konstanto je mogoče izpeljati z upoštevanjem invariant grup simetrij nekaterih posplošitev teorije polja.^{[147]:593–596} Tako je Armand Wyler leta 1969 preučil gibanje a priori brezmasnega delca v petih razsežnostih in obravnaval petrazsežno Klein-Gordonovo enačbo ter dobil vrednost:^{[147][148][149]}

${\displaystyle \alpha \approx {\frac {9}{16\pi ^{3}}}\left({\frac {\pi }{5!}}\right)^{1/4}={\frac {1}{137,036\ 082\ 448\ 164\ldots }}\!\,.}$

Gerald Harris Rosen je privzel, da so operatorji elektromagnetnega polja morda vsota po ${\displaystyle N=42\!\,}$ »skritih« operatorjev polja, kjer je ${\displaystyle N=42\!\,}$ red tranzitivne podgrupe ${\displaystyle G\!\,}$ simetrične grupe stopnje 7 – ${\displaystyle S_{7}\!\,}$. Dobil je približek:^[147][150]

${\displaystyle \alpha \approx {\frac {4\pi }{N(N-1)}}={\frac {1}{137,032\ 406\ 002\ 121\ldots }}\!\,}$

Tovrstni poskusi doslej ne samo, da niso zagotovili zadovoljive fizikalne razlage narave konstante, ampak so tudi preveč togo vezani na matematično strukturo teorije in puščajo malo prostora za točnejše prilagajanje teoretičnega rezultata opaženi vrednosti ${\displaystyle \alpha \!\,}$.^[147] Od Sommerfeldove vpeljave konstante fine strukture in odkritja Planckove konstante s sevanjem črnega telesa so poskušali najti povezave med njima. Povezovali so ju s praštevili, posebnimi vrednostmi Riemannove funkcije zeta, Boltzmannovo konstanto in tudi z brezrazsežno konstanto sevanja črnega telesa.^[27][151]

Nekateri poskusi izračunavanja konstante fine strukture razmišljajo o fluktuacijah elektromagnetnega polja. Tako je Hendrik Casimir leta 1953 predlagal tako imenovani »model mišelovk«, ki predstavlja delce v obliki sferične lupine, po kateri se porazdeli električni naboj.^[152] Upoštevanje vakuumskih fluktuacij v takem sistemu omogoča vzpostavitev razmerja med konstanto ${\displaystyle \alpha \!\,}$ in značilnostmi Casimirjevega pojava.^{[147]:599–600}

Pri nekaterih pristopih se poskuša povezati elektromagnetne in gravitacijske interakcije na podlagi formalizma kvantne teorije polja in iz tega izvesti vrednost konstante fine strukture. Zlasti lahko dajo pokazatelj takega razmerja iskanja pretvorbe fotonov v gravitone in posledično soodvisnost pri spreminjanju konstant elektromagnetnih in gravitacijskih interakcij na različnih energijskih nivojih. Tako takšne domneve vodijo do ocen oblike:

${\displaystyle \alpha \sim \left({\frac {\Lambda }{m_{\rm {e}}}}\right)^{-1}\sim \left({\frac {\lambda _{\rm {e}}}{\ell _{\rm {P}}}}\right)^{-1}\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle \Lambda \!\,}$ parameter meje QED, ${\displaystyle \ell _{\rm {P}}={\sqrt {\hbar \kappa /c_{0}^{3}}}\!\,}$ Planckova dolžina, ${\displaystyle m_{\rm {e}}\!\,}$ in ${\displaystyle \lambda _{\rm {e}}\!\,}$ masa in Comptonova valovna dolžina elektrona.^[147]:603

Drugo oceno konstante fine strukture se lahko dobi z upoštevanjem kompaktifikacije pete razsežnosti v Kaluza-Kleinovi teoriji:

${\displaystyle \alpha ={\frac {4}{(r{\sqrt {\phi }})^{2}}}\kappa \!\,,}$

kjer je ${\displaystyle r\!\,}$ merilo kompaktifikacije, ${\displaystyle \phi \!\,}$ vakuumska srednja vrednost skalarnega polja, v splošnem odvisna od koordinat in časa. Naslednja omejitev polmera kompaktifikacije in jakosti polja se doslej ni ujemala s teoretičnimi ocenami drugih parametrov.^{[147]:604–605}

V teoriji strun je razmerje med gravitacijo in elektromagnetizmom posledica odnosa med parametri odprtih in zaprtih strun. Pod nekaterimi dodatnimi predpostavkami to omogoča izpeljavo naslednjega razmerja:

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\alpha _{\kappa }}}\exp {\sqrt {\frac {m_{\rm {p}}}{m_{\rm {e}}}}}\approx {\frac {1}{136,976(8)}}\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle \alpha _{\kappa }={\frac {\kappa m_{\rm {e}}m_{\rm {p}}}{\hbar c_{0}}}\!\,}$ gravitacijska konstanta fine strukture in ${\displaystyle m_{\rm {p}}\!\,}$ masa protona.^{[147]:605–606}

Sodobni poskusi

Možna je tudi povezava s predpostavljeno razsežnostjo prostora-časa. V eni izmed najbolj obetavnih teorij zadnjega časa, M-teoriji, ki se razvija kot posplošitev teorije superstrun in trdi, da opisuje vse fizikalne interakcije in elementarne delce.^[153] V njej se prostor-čas predpostavlja, da ima 11 razsežnosti. Pri tem se ena razsežnost na makroravni dojema kot čas, tri kot makroskopske prostorske razsežnosti, sedem preostalih pa je »zvitih« (kvantnih), ki delujejo le na mikroravni in niso opazljive. V tem primeru konstanta fine strukture združuje številke 1, 3 in 7 z mnogokratniki po deset, 10 pa je mogoče razlagati kot skupno razsežnost prostora v teoriji superstrun.

Podobno je matematik James George Gilson predlagal, da je mogoče konstanto fine strukture matematično opredeliti z veliko stopnjo točnosti kot:

${\displaystyle \alpha ={\dfrac {\cos {\dfrac {\pi }{137}}}{137}}{\dfrac {\operatorname {tg} {\dfrac {\pi }{137\cdot 29}}}{\dfrac {\pi }{137\cdot 29}}}={\frac {1}{137,035\ 999\ 786\ 699\ldots }}\!\,.}$

29 in 137 sta 10. in 33. praštevilo. Do podatkov iz leta 2002 je bila ta vrednost ${\displaystyle \alpha \!\,}$ v mejah merilnih napak. Trenutno se razlikuje za 33 standardnih odklonov od eksperimentalnih podatkov, zaradi česar je ta vrednost zelo malo verjetna.

Olčak je leta 2009 podal kompaktnejšo formulo, ki daje vrednost konstante fine strukture z nič slabšo točnostjo kot Gilsonova formula.^[153] V tem primeru je vrednost konstante fine strukture povezana z dinamiko kaosa in prvo Feigenbaumovo konstanto ${\displaystyle \delta \!\,}$. Ta konstanta v najbolj splošnih besedah ​​označuje hitrost približevanja rešitev nelinearnih dinamičnih sistemov v stanje »nestabilnosti na vsaki točki« ali »dinamičnega kaosa«. Izračunana vrednost Feigenbaumove konstante (v okviru točnosti, potrebne za izračun konstante fine strukture) je ${\displaystyle \delta =4,669\ 211\ 660\ 910\ 299\ldots \!\,}$.

Vrednost konstante fine strukture je zelo točno izračunana kot koren preproste enačbe:

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}=137+{\dfrac {\delta }{{\dfrac {1}{\alpha }}-{\dfrac {\delta \pi }{2}}}}=137,035\ 999\ 559\ldots \!\,,}$

kar je enako eksperimentalni vrednosti do desetega decimalnega mesta. Točnost sovpadanja je bila približno 1,3 standardnih intervalov eksperimentalne napake, vendar je do danes z izboljšanjem eksperimentalne točnosti odstopanje doseglo 22 standardnih odklonov.

Znana je tudi formula:^[38]

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}={\frac {e^{2\pi }+2e^{-\pi }+4\pi }{4}}=137,036\ 113\ 493\ 912\dots \!\,,}$

dobljena s pomočjo Eulerjeve formule ${\displaystyle e^{\pi i}=-1\!\,}$.

Z vidika sodobne teorije QED je konstanta fine strukture gibljiva sklopitvena konstanta, to je, odvisna je od energijskega nivoja interakcije (${\displaystyle \alpha \!\,}$ je naravni parameter, ki označuje »jakost« elektromagnetne interakcije). To dejstvo prikrajša večino fizikalnega pomena poskusov izgradnje numerološke formule za določeno (zlasti ničelno, če se govori o vrednosti ${\displaystyle 1/137,036\ldots \!\,}$) preneseno gibalno količino.

Richard Feynman, eden od tvorcev in zgodnjih razvijalcev teorije QED, je o konstanti fine strukture zapisal:

Obstaja najglobje in lepo vprašanje povezano z opazovano sklopitveno konstanto ${\displaystyle e\!\,}$ – amplitudo za stvarni elektron, ki odda ali absorbira resnični foton. Je preprosto število, katerega vrednost so eksperimentalno določili na 0,08542455. (Moji fizikalni prijatelji ne bodo prepoznali tega števila, ker si ga rajši zapomnijo kot obratno vrednost njegovega kvadrata – približno 137,03597 z negotovostjo približno 2 na zadnjem desetiškem mestu. Ves čas od odkritja pred petdesetimi leti je bila skrivnost, in vsi dobri teoretični fiziki si to število postavijo na svoje zidove in so zaskrbljeni z njim).

Takoj boste želeli vedeti, od kod to število za sklopitev izhaja – povezano je s pijem ali mogoče z osnovo naravnih logaritmov? Nihče ne ve. Je ena od največjih prekletih skrivnosti fizike – skrivnostno število, ki prihaja k nam brez človeškega razumevanja. Boste rekli, da »je božja roka« napisala to število in ne »vemo, kako je potisnila svoj svinčnik«. Poznamo katere vrsta plesa je primerna za zelo točno eksperimentalno merjenje tega števila, ne vemo pa katera za na računalnik, da se izve od kod to število izhaja, ne da bi ga postavili v tajnosti!

— Richard Feynman^[154]

Nasprotno je statistik Irving John Good trdil, da bi bila numerološka razlaga sprejemljiva le, če bi temeljila na dobri teoriji, ki pa še ni znana, in »obstaja« v smislu platonističnega ideala.^[155]

Vse do danes so poskušali najti matematično osnovo za to brezrazsežno konstanto. Vendar fizikalna skupnost do sedaj ni priznala nobene numerološke razlage.

V zgodnjem 21. stoletju je več fizikov, med njimi tudi Stephen Hawking v svoji knjigi Kratka zgodovina časa, začelo raziskovati zamisel o mnogovesolju, in konstanta fine strukture je bila ena od več splošnih konstant, ki je napeljevala na pojem fino uglašenega Vesolja.^[156]

Navedki

Skrivnost o ${\displaystyle \alpha \!\,}$ je dejansko dvojna skrivnost. Prvo skrivnost – izvor njene številske vrednosti ${\displaystyle \alpha \approx 1/137\!\,}$ – so prepoznali in razpravljali o njej več desetletij. Druga skrivnost – obseg njene domene – v splošnem ni priznana.

— Malcolm Herbert MacGregor^[157]

Ko bom umrl, bo moje prvo vprašanje hudiču: Kaj je pomen konstante fine strukture?

— Wolfgang Pauli

Popolnejša teorija bi morala izpeljati število ${\displaystyle \alpha \!\,}$ izključno z matematičnim sklepanjem, ne da bi se sklicevala na rezultate meritev. [...] Toda dejstvo, da ima ${\displaystyle \alpha \!\,}$ vrednost 1/137, in ne kakšno drugo, vsekakor ni naključje, ampak samo po sebi naravni zakon. Jasno je, da mora biti razlaga tega števila eden osrednjih problemov naravoslovja.

— Max Born^{[3]:545[113][158]:5759}

... ni znano, zakaj ima ta izraz ravno ta in ne drug pomen. Fiziki so o tem predlagali različne zamisli, vendar še vedno ni splošno sprejete razlage.

— Paul Dirac

Glej tudi

• brezrazsežna fizikalna konstanta
• influenčna konstanta
• hiperfina struktura
• Planckova konstanta
• hitrost svetlobe
• M-teorija
• Feigenbaumovi konstanti

Opombe

1. ${\displaystyle \alpha \!\,}$ je sorazmerna s kvadratom sklopitvene konstante za nabiti delec elektromagnetnega polja. Obstajajo podobne konstante, ki parametrizirajo jakost interakcije močne jedrske sile, znane kot ${\displaystyle \alpha _{\rm {s}}\approx 1\!\,}$, šibke jedrske sile, znane kot ${\displaystyle \alpha _{\rm {w}}\approx 10^{-6}\ {\text{ do }}\ 10^{-7}\!\,}$ in gravitacije, znane kot ${\displaystyle \alpha _{\kappa }\approx 10^{-39}\!\,}$.^[2]
2. Einstein je zapisal red velikosti Planckove konstante ${\displaystyle h=6\cdot 10^{-27}\!\,}$ in vrednost razmerja ${\displaystyle e_{0}^{2}/c_{0}=7\cdot 10^{-30}\!\,}$.
3. Že Max Born je leta 1935 zapisal: »Če bi bila ${\displaystyle \alpha \!\,}$ večja kot v resnici je, snovi ne bi mogli razlikovati od etra [vakuuma, neobstoja], naša naloga razločevanja naravnih zakonov pa bi bila brezupno težka.«^[3]:545[113]

Sklici

1. Sommerfeld (1916), enačba 12a, »rund ${\displaystyle 7\cdot 10^{-3}}$« (približno ...).
2. »Coupling Constants for the Fundamental Forces«. HyperPhysics (v angleščini). Državna univerza Georgie. Pridobljeno 12. maja 2020.
3. Born (1935).
4. Müller (2020).
5. »Convocationde la Conférence générale des poids et mesures (26e réunion)« (PDF). Arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 19. septembra 2019. Pridobljeno 12. avgusta 2021.
6. Parker idr. (2018).
7. Davis (2017).
8. Mohr; Taylor; Newell (2019a).
9. Peskin; Schroeder (1995), str. 125.
10. Mohr; Taylor; Newell (2019b).
11. Yu idr. (2019).
12. Aoyama idr. (2012).
13. Bouchendira idr. (2011).
14. Morel idr. (2020).
15. Sommerfeld (1921), str. 241–242.
16. Riazuddin (2012), str. 4.
17. Nair idr. (2008).
18. Chandrasekhar (1984).
19. Bedford; Krumm (2004).
20. Poelz (2016).
21. Lederman (1993), str. 28–29.
22. Fritzsch (2002).
23. Michelson; Morley (1887).
24. Sommerfeld (1916b).
25. Planck (1905).
26. Einstein (1909), str. 192.
27. Xiao (2011).
28. »Introduction to the Constants for Nonexperts – Current Advances: The Fine-Structure Constant and Quantum Hall Effect«. The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty. NIST. Pridobljeno 11. aprila 2009.
29. Bouchendira idr. (2013).
30. Kragh (2003).
31. O'Hanlon (1970).
32. Wheeler (1968).
33. Schwinger (1948).
34. Munafo (2020).
35. »Committee on Data for Science and Technology«. DeWiki.de (v nemščini). Pridobljeno 11. avgusta 2021.
36. Taylor; Parker; Langenberg (1969).
37. Cohen; Taylor (1973).
38. Lorents (1974).
39. Cohen; Taylor (1986).
40. Kinoshita; Nio (2006).
41. Mohr; Taylor (1998).
42. Mohr; Taylor (2002).
43. Gabrielse idr. (2007).
44. Mohr; Taylor; Newell (2006).
45. Gabrielse (2008).
46. Hanneke; Fogwell; Gabrielse (2008).
47. Aoyama; Kinoshita; Nio (2018).
48. Milne (1935).
49. Dirac (1937).
50. Gamow (1967a).
51. Gamow (1967b).
52. Wilkinson (1958).
53. Gamow (1968).
54. Chalmers; Chalmers (1935).
55. Sambursky (1937).
56. Stanjukovič (1963).
57. O'Hanlon; Tam (1969).
58. O'Hanlon; Tam (1970).
59. Dirac (1938).
60. Kragh (2015).
61. Jordan (1939).
62. Kundt (2006).
63. Teller (1948).
64. Brandmüller; Rüchardt (1950).
65. Baggiolini (1957).
66. Dyson (1967).
67. Peres (1967).
68. Bahcall; Schmidt (1967).
69. Kramarovski; Čečev (1970).
70. Uzan (2003).
71. Uzan (2004).
72. Olive; Qian (2003).
73. Barrow (2002).
74. Uzan; Leclercq (2008).
75. Fujii (2004).
76. Petrov (1977).
77. Webb idr. (1999).
78. Murphy idr. (2001).
79. Webb idr. (2001).
80. Murphy; Webb; Flambaum (2003).
81. Barrow; Sandvik; Magueijo (2002).
82. Chand idr. (2004).
83. Srianand idr. (2004).
84. Murphy; Webb; Flambaum (2007).
85. Murphy; Webb; Flambaum (2008).
86. King idr. (2009).
87. Kurzweil (2005).
88. Lamoreaux; Torgerson (2004).
89. Samuel (2004).
90. »Scientists Discover One Of The Constants Of The Universe Might Not Be Constant«. ScienceDaily. 12. maj 2005. Pridobljeno 30. januarja 2009.
91. Khatri; Wandelt (2007).
92. Rosenband idr. (2008).
93. Safronova (2014).
94. Kanekar; Ghosh; Chengalur (2018).
95. Trunin (2018).
96. Martins (2017).
97. Johnston (2010).
98. Webb idr. (2011).
99. King (2012a).
100. King idr. (2012b).
101. Orzel (2010).
102. Carroll (2010).
103. Wilczynska idr. (2020).
104. Martinenko (2020).
105. Berengut idr. (2011).
106. King idr. (2011).
107. Curran idr. (2011).
108. Berengut; Flambaum (2012).
109. Hees idr. (2020).
110. Stephens (2020).
111. Kešelava (2020).
112. Barrow (2001).
113. Miller (2009), str. 253.
114. Lewis; Adams (1914).
115. Allen (1914).
116. Lunn (1922).
117. Brown (2020).
118. Rice (1925a).
119. Rice (1925b).
120. Esposito idr. (2019), str. 155.
121. Eddington (1929).
122. Eddington (1930).
123. Eddington (1931).
124. Eddington (1932).
125. Tomilin (2006).
126. Eddington (1956).
127. Whittaker (1945).
128. Birge (1941).
129. Rožanski (1929).
130. Witmer (1929).
131. Anderson (1929).
132. Fürth (1929).
133. Haas (1938).
134. Landé (1940).
135. Glaser; Sitte (1934).
136. Corlin idr. (1931).
137. Blackett (1939).
138. Flint (1940).
139. Lenz (1951).
140. Nambu (1952).
141. Várlaki; Nádai; Bokor (2008).
142. Born (1938).
143. Born (1939).
144. Born (1949).
145. Heisenberg (1957).
146. Dürr idr. (1965).
147. Jentschura; Nándori (2014).
148. Wyler (1969).
149. Wyler (1971).
150. Rosen (1976).
151. Sherbon (2012).
152. Casimir (1953).
153. Olčak (2009).
154. Feynman (1985).
155. Good (1990), str. 141.
156. Hawking (1988), str. 7, 125.
157. MacGregor (2007), str. 69.
158. Sherbon (2018).

Viri

• Allen, Herbert Stanley (1914), »Numerical Relationships between Electronic and Atomic Constants«, Proceedings of the Physical Society of London, 27 (1): 425–431, doi:10.1088/1478-7814/27/1/331
• Anderson, Wilhelm (november 1929), »Über die Struktur der Lichtquanten«, Zeitschrift für Physik, 58: 841–857, doi:10.1007/BF01339748{{citation}}: Vzdrževanje CS1: samodejni prevod datuma (povezava)
• Aoyama, Tatsumi; Hayakawa, Masashi; Kinoshita, Toichiro; Nio, Makiko (2012), »Tenth-order QED contribution to the electron g−2 and an improved value of the fine structure constant«, Physical Review Letters, 109 (11): 111807, arXiv:1205.5368, Bibcode:2012PhRvL.109k1807A, doi:10.1103/PhysRevLett.109.111807, PMID 23005618, S2CID 14712017
• Aoyama, Tatsumi; Kinoshita, Toichiro; Nio, Makiko (8. februar 2018), »Revised and Improved Value of the QED Tenth-Order Electron Anomalous Magnetic Moment«, Physical Review D, 97 (3): 036001, arXiv:1712.06060, Bibcode:2018PhRvD..97c6001A, doi:10.1103/PhysRevD.97.036001, S2CID 118922814
• Baggiolini, Raimondo (1957), »On a Remarkable Relation between Atomic and Universal Constants«, American Journal of Physics, 25: 324–325, doi:10.1119/1.1934449
• Bahcall, John Norris; Schmidt, Maarten (27. november 1967), »Does the Fine-Structure Constant Vary with Cosmic Time?«, Physical Review Letters, 19: 1294–1295, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1294
• Barrow, John David (2001), »Cosmology, Life, and the Anthropic Principle«, Annals of the New York Academy of Sciences, 950 (1): 139–153, Bibcode:2001NYASA.950..139B, doi:10.1111/j.1749-6632.2001.tb02133.x, PMID 11797744
• Barrow, John David (2002), The Constants of Nature: From Alpha to Omega—the Numbers That Encode the Deepest Secrets of the Universe, Vintage, COBISS 60424961, ISBN 978-0-09-928647-9
• Barrow, John David; Sandvik, Håvard Bunes; Magueijo, João (21. februar 2002), »Behavior of varying-alpha cosmologies«, Physical Review D, 65 (6): 063504, arXiv:astro-ph/0109414, Bibcode:2002PhRvD..65f3504B, doi:10.1103/PhysRevD.65.063504, S2CID 118077783
• Bedford, Donald; Krumm, Peter (2004), »Heisenberg indeterminacy and the fine structure constant«, American Journal of Physics, 72 (7): 969, Bibcode:2004AmJPh..72..969B, doi:10.1119/1.1646135
• Bekenstein, Jacob David (29. januar 2003). »Fine-structure constant variability: surprises for laboratory atomic spectroscopy and cosmological evolution of quasar spectra«. arXiv:astro-ph/0301566v1.
• Berengut, Julian C.; Flambaum, Victor Vilevich; King, Julian Alexander; Curran, Stephen J.; Webb, John Kelvin (2. junij 2011), »Is there further evidence for spatial variation of fundamental constants?«, Physical Review D, 83: 123506, arXiv:1009.0591, doi:10.1103/PhysRevD.83.123506
• Berengut, Julian C.; Flambaum, Victor Vilevich (2012), »Manifestations of a spatial variation of fundamental constants in atomic and nuclear clocks, Oklo, meteorites, and cosmological phenomena«, EPL, 97: 20006, doi:10.1209/0295-5075/97/20006
• Birge, Raymond Thayer (1941), »The general physical constants: As of august 1941 with details on the velocity of light only«, Reports on Progress in Physics, 8 (1): 90–134, doi:10.1088/0034-4885/8/1/307
• Blackett, Patrick Maynard Stuart (1939), »Instability of the mesotron and the gravitational constant«, Nature, 144: 30
• Born, Max (december 1935), »The Mysterious Number 137«, Proceedings of the Indian Academy of Science A, 2 (6): 533–561, doi:10.1007/bf03045991, Zbl 0013.13508{{citation}}: Vzdrževanje CS1: samodejni prevod datuma (povezava)
• Born, Max (19. februar 1938), »Relativity and Quantum Theory«, Nature, 141 (3564): 327–328, Bibcode:1938Natur.141..327B, doi:10.1038/141327a0
• Born, Max (1939), »Reciprocity and the number 137«, Proceedings of the Royal Society (Edinburgh), 59: 219–233
• Born, Max (1. julij 1949), »Reciprocity Theory of Elementary Particles«, Reviews of Modern Physics, 21 (3): 463–473, Bibcode:1949RvMP...21..463B, doi:10.1103/RevModPhys.21.463
• Bouchendira, Rym; Cladé, Pierre; Guellati-Khélifa, Saïda; Nez, François; Biraben, François (Februar 2011), »New determination of the fine-structure constant and test of the quantum electrodynamics« (PDF), Physical Review Letters (predloženi rokopis), 106 (8): 080801, arXiv:1012.3627, Bibcode:2011PhRvL.106h0801B, doi:10.1103/PhysRevLett.106.080801, PMID 21405559, S2CID 47470092
• Bouchendira, Rym; Cladé, Pierre; Guellati-Khélifa, Saïda; Nez, Francois; Biraben, Francois (26. maj 2013), »State of the art in the determination of the fine structure constant: test of Quantum Electrodynamics and determination of h / m_u«, Annalen der Physic, 525 (7): 484–492, doi:10.1002/andp.201300044
• Brandmüller, Josef; Rüchardt, Eduard (Januar 1950), »Die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante und das Problem der spektroskopischen Einheiten«, Die Naturwissenschaften, 37: 337–343, doi:10.1007/BF00623287
• Brown, Philip Robert (2020), »Mysticism and the Fine Structure Constant«, Journal of Scientific Exploration, 34 (3): 455–492, doi:10.31275/20201289, ISSN 0892-3310
• Carroll, Sean Michael (18. oktober 2010), The Fine Structure Constant is Probably Constant (v angleščini)
• Casimir, Hendrik Brugt Gerhard (1953), »Introductory remarks on quantum electrodynamics«, Physica, 19 (1–12): 846–849, doi:10.1016/S0031-8914(53)80095-9
• Chalmers, John Alan; Chalmers, Bruce (1935), »The expanding universe—an alternative view«, Philosophical Magazine Series 7, 19: 436–446, doi:10.1080/14786443508561389
• Chand, Hum; Srianand, Raghunathan; Petitjean, Patrick; Aracil, Bastien (1. april 2004), »Probing the cosmological variation of the fine-structure constant: Results based on VLT-UVES sample«, Astronomy & Astrophysics, 417 (3): 853–871, arXiv:astro-ph/0401094, Bibcode:2004A&A...417..853C, doi:10.1051/0004-6361:20035701, S2CID 17863903
• Chandrasekhar, Subrahmanyan (1. april 1984), »On stars, their evolution and their stability«, Reviews of Modern Physics, 56 (2): 137–147, Bibcode:1984RvMP...56..137C, doi:10.1103/RevModPhys.56.137, S2CID 2317589
• Cohen, Emanuel Richard; Taylor, Barry Norman (1973), »The 1973 Least-Squares Adiustment of the Fundamental Constants« (PDF), Journal of Physical and Chemical Reference Data, 2 (4): 663–734, doi:10.1063/1.3253130
• Cohen, Emanuel Richard; Taylor, Barry Norman (1986), »The 1986 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants« (PDF), Journal of Research of the National Bureau of Standards, 92 (2): 85–95. Povezava na NIST
• Corlin, Axel; Stein, J. S.; Beck, Guido; Bethe, Hans Albrechtt; Riezler, Wolfgang (Januar 1931), »Bemerkung zur Quantentheorie der Nullpunktstemperatur«, Die Naturwissenschaften, 19 (2): 39, doi:10.1007/BF01523870
• Curran, Stephen J.; Tanna, Anant; Koch, Frederick Elliot; Berengut, Julian C.; Webb, John Kelvin; Stark, Antony Albert; Flambaum, Victor Vilevich (september 2011), »Measuring space-time variation of the fundamental constants with redshifted submillimetre transitions of neutral carbon«, Astronomy and Astrophysics, EDP Sciences, 533: A55, arXiv:1108.0976, doi:10.1051/0004-6361/201117457{{citation}}: Vzdrževanje CS1: samodejni prevod datuma (povezava)
• Davis, Richard S. (2017), »Determining the value of the fine-structure constant from a current balance: Getting acquainted with some upcoming changes to the SI«, American Journal of Physics (v angleščini), 85 (5): 364–368, arXiv:1610.02910, Bibcode:2017AmJPh..85..364D, doi:10.1119/1.4976701, ISSN 0002-9505, S2CID 119283799
• Dirac, Paul Adrien Maurice (1937), »The Cosmological Constants«, Nature, 139 (3512): 323, Bibcode:1937Natur.139..323D, doi:10.1038/139323a0, S2CID 4106534
• Dirac, Paul Adrien Maurice (5. april 1938), »A New Basis for Cosmology«, Proceedings of the Royal Society A, 165 (921): 199–208, doi:10.1098/rspa.1938.0053, ISSN 0950-1207
• Dürr, Hans-Peter Emil; Heisenberg, Werner; Yamamoto, Hideo; Yamazaki, Kazuo (Avgust 1965), »Quantum electrodynamics in the nonlinear spinor theory and the value of Sommerfeld's fine-structure constant«, Il Nuovo Cimento, 38 (3): 1220–1242, Bibcode:1965NCimS..38.1220D, doi:10.1007/BF02750602, Zbl 0128.46004
• Dyson, Freeman John (27. november 1967), »Time Variation of the Charge of the Proton«, Physical Review Letters, 19: 1291–1293, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1291
• Eddington, Arthur Stanley (1. januar 1929), »The Charge of an Electron«, Proceedings of the Royal Society London A, 122 (789): 358–369, doi:10.1098/rspa.1929.0025
• Eddington, Arthur Stanley (3. marec 1930), »The Interaction of Electric Charges«, Proceedings of the Royal Society London A, 126 (803): 696–728, doi:10.1098/rspa.1930.0038
• Eddington, Arthur Stanley (1. oktober 1931), »On the Value of the Cosmical Constant«, Proceedings of the Royal Society London A, 133: 605–615, doi:10.1098/rspa.1931.0170
• Eddington, Arthur Stanley (1. oktober 1932), »Theory of Electric Charge«, Proceedings of the Royal Society London A, 138 (834): 17–41, doi:10.1098/rspa.1932.0168
• Eddington, Arthur Stanley (1956), »The Constants of Nature«, v Newman, J. R. (ur.), The World of Mathematics, zv. 2, Simon & Schuster, str. 1074–1093
• Einstein, Albert (1909), »Zum gegenwärtigen Stande des Strahlungsproblems«, Physikalische Zeitschrift, 10: 185–193
• Esposito, Salvatore; Majorana mlajši, Ettore; van der Merwe, Alwyn; Recami, Erasmo (2019), Ettore Majorana: notes on theoretical physics, Boston/Dordrecht/London: Kluwer Academic Publishers
• Feynman, Richard Phillips (1985), QED: The Strange Theory of Light and Matter, Princeton University Press, str. 129, COBISS 43108, ISBN 978-0-691-08388-9
• Flint, Henry Thomas (1940), »The theory of the electric charge and the quantum theory«, Philosophical Magazine Series 7, 29 (195): 330–343, doi:10.1080/14786444008521274
• Fritzsch, Harald (2002), »Fundamental Constants at High Energy«, Fortschritte der Physik, 50 (5–7): 518–524, arXiv:hep-ph/0201198, Bibcode:2002ForPh..50..518F, doi:10.1002/1521-3978(200205)50:5/7<518::AID-PROP518>3.0.CO;2-F
• Fujii, Yasunori (2004), »Oklo Constraint on the Time-Variabilityof the Fine-Structure Constant«, Astrophysics, Clocks and Fundamental Constants, Lecture Notes in Physics, zv. 648, str. 167–185, doi:10.1007/978-3-540-40991-5_11, ISBN 978-3-540-21967-5
• Fürth, Reinhold (Julij 1929), »Über einen Zusammenhang zwischen quantenmechanischer Unschärfe und Struktur der Elementarteilchen und eine hierauf begründete Berechnung der Massen von Proton und Elektron«, Zeitschrift für Physik, 57: 429–446, doi:10.1007/BF01340273
• Gabrielse, Gerald; Hanneke, David; Kinoshita, Toichiro; Nio, Makiko; Odom, Brian Carl (20. julij 2007), »Erratum: New Determination of the Fine Structure Constant from the Electron g Value and QED«, Physical Review Letters, 99 (039902)
• Gabrielse, Gerald (27. julij 2008), New Measurement of the Electron Magnetic Moment and the Fine Structure Constant (PDF). Predloženo za 21. mednarodno konferenco o atomski fiziki, Storrs, Connecticut, ZDA.
• Gamow, George (25. september 1967a), »Electricity, Gravity, and Cosmology«, Physical Review Letters, 19 (13): 759–761, Bibcode:1967PhRvL..19..759G, doi:10.1103/PhysRevLett.19.759
• Gamow, George (16. oktober 1967b), »Variability of Elementary Charge and Quasistellar Objects«, Physical Review Letters, 19 (16): 913–914, Bibcode:1967PhRvL..19..913G, doi:10.1103/PhysRevLett.19.913
• Gamow, George (1968), »Numerology of the Constants of Nature«, Proceedings of the National Academy of Sciences, Nacionalna akademija znanosti ZDA, 59: 313–318, doi:10.1073/pnas.59.2.313
• Glaser, Walter; Sitte, Kurt (september 1934), »Elementäre Unschärfen, Grenze des periodischen Systems und Massenverhältnis von Elektron und Proton«, Zeitschrift für Physik, 87: 674–686, doi:10.1007/BF01333334{{citation}}: Vzdrževanje CS1: samodejni prevod datuma (povezava)
• Good, Irving John (1990), »A Quantal Hypothesis for Hadrons and the Judging of Physical Numerology«, v Grimmett, G. R.; Welsh, D. J. A. (ur.), Disorder in Physical Systems, Oxford University Press, str. 141, COBISS 35167233, ISBN 978-0-19-853215-6, Irving John Good: Bilo je več primerov numerologije, ki so vodili do teorij in te so preobrazile družbo – glej omembo Kirchhoff in Balmer v Good (1962, str. 316) … lahko se vključi tudi Kepler zaradi njegovega tretjega zakona. Dovolj pošteno je reči, da je bila numerologija vir teorij elektromagnetizma, kvantne mehanike, gravitacije.... Zato ne nameravam omalovaževati, ko formulo opišem kot numerološko. Ko se predlaga numerološka formula, se lahko vprašamo, ali je pravilna. … Mislim, da je ustrezna definicija pravilnosti ta, da ima formula dobro razlago v platonskem smislu, to je, da bi razlaga lahko temeljila na dobri teoriji, ki še ni znana, vendar »obstaja« v vesolju možnih razumnih zamisli.
• Haas, Arthur Erich (1. julij 1938), »The Dimensionless Constants of Physics«, Proceedings of the National Academy of Sciences, Nacionalna akademija znanosti ZDA, 24 (7): 274–276, doi:10.1073/pnas.24.7.274.
• Hanneke, David; Fogwell, Shannon; Gabrielse, Gerald (26. marec 2008), »New Measurement of the Electron Magnetic Moment and the Fine Structure Constant« (PDF), Physical Review Letters, 100 (12): 120801, arXiv:0801.1134, Bibcode:2008PhRvL.100l0801H, doi:10.1103/PhysRevLett.100.120801.
• Hawking, Stephen (1988), A Brief History of Time, Bantam Books, str. 7, 125, COBISS 3098724, ISBN 978-0-553-05340-1
• Hees, Aurélien; Do, Tuan; Roberts, Benjamin M.; Ghez, Andrea Mia; Nishiyama, Shogo; Bentley, Rory O. J.; Gautam, Abhimat Krishna; Jia, Siyao; Kara, T.; Lu, Jessica Ryan; Saida, Hiromi; Sakai, Shoko; Takahashi, Masaaki; Takamori, Yohsuke (26. februar 2020), »Search for a Variation of the Fine Structure Constant around the Supermassive Black Hole in Our Galactic Center«, Physical Review Letters, 124: 081101, arXiv:2002.11567, doi:10.1103/PhysRevLett.124.081101
• Heisenberg, Werner (1. julij 1957), »Quantum Theory of Fields and Elementary Particles«, Reviews of Modern Physics, 29: 269–278, doi:10.1103/RevModPhys.29.269
• Jentschura, Ulrich David; Nándori, István (4. december 2014), »Attempts at a determination of the fine-structure constant from first principles: a brief historical overview«, European Physical Journal H, 39 (5): 591–613, arXiv:1411.4673, Bibcode:2014EPJH...39..591J, doi:10.1140/epjh/e2014-50044-7
• Johnston, Hamish (2. september 2010), »Changes spotted in fundamental constant«, Physics World (v angleščini), pridobljeno 11. septembra 2010
• Jordan, Ernst Pascual (1939), »Über die kosmologische Konstanz der Feinstrukturkonstanten«, Zeitschrift für Physik, 113: 660–662
• Kanekar, Nissim; Ghosh, Tapasi; Chengalur, Jayaram Narayanan (8. februar 2018), »Stringent Constraints on Fundamental Constant Evolution Using Conjugate 18 cm Satellite OH Lines«, Physical Review Letters, 120: 061302, arXiv:1801.07688, doi:10.1103/PhysRevLett.120.061302
• Kešelava, Timur (27. februar 2020), Постоянная тонкой структуры осталась неизменной вблизи сверхмассивной черной дыры (v ruščini), N+1, pridobljeno 10. septembra 2021
• Khatri, Rishi; Wandelt, Benjamin Dan (14. marec 2007), »21-cm Radiation: A New Probe of Variation in the Fine-Structure Constant«, Physical Review Letters, 98 (11): 111301, arXiv:astro-ph/0701752, Bibcode:2007PhRvL..98k1301K, doi:10.1103/PhysRevLett.98.111301, PMID 17501040, S2CID 43502450
• King, Julian Alexander; Mortlock, Daniel John; Webb, John Kelvin; Murphy, Michael Thomas (2009), »Markov Chain Monte Carlo methods applied to measuring the fine structure constant from quasar spectroscopy«, Memorie della Societa Astronomica Italiana, 80: 864, arXiv:0910.2699, Bibcode:2009MmSAI..80..864K
• King, Julian Alexander; Murphy, Michael Thomas; Ubachs, Wim; Webb, John Kelvin (2. november 2011), »New constraint on cosmological variation of the proton-to-electron mass ratio from Q0528-250«, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Oxford University Press, 417 (4): 3010–3024, arXiv:1106.5786, doi:10.1111/j.1365-2966.2011.19460.x
• King, Julian Alexander (1. februar 2012). Searching for variations in the fine-structure constant and the proton-to-electron mass ratio using quasar absorption lines (diplomska naloga). arXiv:1202.6365. Bibcode:2012PhDT........14K. CiteSeerX 10.1.1.750.8595. hdl:1959.4/50886.
• King, Julian Alexander; Webb, John Kelvin; Murphy, Michael Thomas; Flambaum, Victor Vilevich; Carswell, Robert F.; Bainbridge, Matthew B.; Wilczynska, Michael R.; Koch, Frederick Elliott (21. maj 2012), »Spatial variation in the fine-structure constant – new results from VLT/UVES«, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 422 (4): 3370–3414, arXiv:1202.4758, doi:10.1111/j.1365-2966.2012.20852.x
• Kinoshita, Toichiro; Nio, Makiko (11. januar 2006), »Improved α⁴ Term of the Electron Anomalous Magnetic Moment«, Physical Review D, 73: 013003, arXiv:hep-ph/0507249v2, doi:10.1103/PhysRevD.73.013003
• Kragh, Helge (Julij 2003), »Magic Number: A Partial History of the Fine-Structure Constant«, Archive for History of Exact Sciences, 57 (5): 395–431, doi:10.1007/s00407-002-0065-7, JSTOR 41134170, S2CID 118031104
• Kragh, Helge (2015). »On Arthur Eddington's Theory of Everything«. arXiv:1510.04046 [physics.hist-ph].
• Kramarovski, Jakov Mihajlovič; Čečev, Valerij Pavlovič (1970), »Изменяется ли заряд электрона с возрастом Вселенной?«, Uspehi fizičeskih nauk, Ruska akademija znanosti, 102: 141–148, doi:10.3367/UFNr.0102.197009f.0141
• Kundt, Wolfgang (Avgust 2006), »Jordan's „Excursion" into Geophysics«, Pascual Jordan (1902–1980), Mainzer Symposium zum 100. Geburtstag (PDF), str. 125
• Kurzweil, Ray (2005), The Singularity Is Near, Viking Penguin, str. 139–140, COBISS 22491431, ISBN 978-0-670-03384-3
• Lamoreaux, Steve Keith; Torgerson, Justin Roald (Junij 2004), »Neutron Moderation in the Oklo Natural Reactor and the Time Variation of Alpha«, Physical Review D, 69 (12): 121701, arXiv:nucl-th/0309048, Bibcode:2004PhRvD..69l1701L, doi:10.1103/PhysRevD.69.121701, S2CID 119337838
• Landé, Alfred (1. november 1940), »The Ratio of e, c, and h«, Physical Review, 58: 843, doi:10.1103/PhysRev.58.843.2
• Lederman, Leon Max (1993), The God Particle: If the Universe is the Answer, What is the Question?, Houghton Mifflin Harcourt, str. 28–29
• Lenz, Friedrich (15. maj 1951), »The Ratio of Proton and Electron Masses«, Physical Review, 82 (4): 554, doi:10.1103/PhysRev.82.554.2
• Lewis, Gilbert Newton; Adams, Elliot Quincy (1914), »A Theory of Ultimate Rational Units; Numerical Relations between Elementary Charge, Wirkungsquantum, Constant of Stefan's Law«, Physical Review, 3: 92–102
• Lorents, A. K. (Marec 1974), »Формула зависимости между математическими и физическими константами« (PDF), Teoretičeskaja i matematičeskaja fizika, 18 (3): 427–428; angleški prevod Theoret. and Math. Phys., 18:3 (1974), 305–306.
• Lunn, Arthur Constant (1. julij 1922), »Atomic Constants and Dimensional Invariants«, Physical Review, 20: 1–14, doi:10.1103/PhysRev.20.1
• MacGregor, Malcolm Herbert (2007), The Power of Alpha, World Scientific, str. 69, COBISS 1537712863, ISBN 978-981-256-961-5
• Martinenko, Nikolaj (29. april 2020), Постоянную тонкой структуры проверили на постоянство (v ruščini), N+1, pridobljeno 10. septembra 2021
• Martins, Carlos José Amaro Parente (2. november 2017), »The status of varying constants: a review of the physics, searches and implications«, Reports on Progress in Physics, 80 (12): 126902, arXiv:1709.02923, doi:10.1088/1361-6633/aa860e
• Michelson, Albert Abraham; Morley, Edward Williams (1887), »Method of making the wave-length of sodium light the actual and practical standard of length«, The American Journal of Science, 3. serija, 34 (204): 427–430 S strani 430: »Med drugimi snovmi, [ki so bile] preskušane v predhodnih poskusih, so bile: talij, litij in vodik. … Lahko poudarimo, da je v primeru rdeče vodikove črte pojav interference izginil pri približno 15.000 valovnih dolžinah, in spet pri približno 45.000 valovnih dolžinah – tako, da mora biti rdeča vodikova črta dvojna črta s komponentami, oddaljenimi približno eno šestdesetino od natrijevih črt.« Ponatisnjeno v: Michelson, Albert Abraham; Morley, Edward Williams (1887), »Method of making the wave-length of sodium light the actual and practical standard of length«, The Philosophical Magazine, 5. serija, 24 (151): 463–466
• Miller, Arthur I. (2009), Deciphering the Cosmic Number: The Strange Friendship of Wolfgang Pauli and Carl Jung, W.W. Norton & Co, str. 253, ISBN 978-0-393-06532-9, Max Born: Če bi bila ${\displaystyle \alpha \!\,}$ večja kot v resnici je, snovi ne bi mogli razlikovati od etra [vakuuma, neobstoja], naša naloga razločevanja naravnih zakonov pa bi bila brezupno težka. Toda dejstvo, da ima ${\displaystyle \alpha \!\,}$ vrednost 1/137, in ne kakšno drugo, vsekakor ni naključje, ampak samo po sebi naravni zakon. Jasno je, da mora biti razlaga tega števila eden osrednjih problemov naravoslovja.
• Milne, Edward Arthur (1935), Relativity, Gravitation and World Structure, Clarendon Press
• Mohr, Peter Joseph; Taylor, Barry Norman (1998), CODATA recommended values of the fundamental physical constants (PDF), arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 7. januarja 2017, pridobljeno 12. avgusta 2021
• Mohr, Peter Joseph; Taylor, Barry Norman (2002), CODATA recommended values of the fundamental physical constants (PDF), arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 15. oktobra 2011, pridobljeno 12. avgusta 2021
• Mohr, Peter Joseph; Taylor, Barry Norman; Newell, David B. (2006), CODATA recommended values of the fundamental physical constants (PDF), arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 5. avgusta 2011, pridobljeno 12. avgusta 2021
• Mohr, Peter Joseph; Taylor, Barry Norman; Newell, David B. (2019a), »Fine structure constant«, CODATA Internationally recommended 2018 values of the fundamental physical constants, Narodni urad za standarde in tehnologijo
• Mohr, Peter Joseph; Taylor, Barry Norman; Newell, David B. (2019b), »Inverse fine structure constant«, CODATA Internationally recommended 2018 values of the fundamental physical constants, Narodni urad za standarde in tehnologijo, pridobljeno 20. maja 2018
• Morel, Léo; Yao, Zhibin; Cladé, Pierre; Guellati-Khélifa, Saïda (2. december 2020), »Determination of the fine-structure constant with an accuracy of 81 parts per trillion«, Nature, 588 (7836): 61–65, Bibcode:2020Natur.588...61M, doi:10.1038/s41586-020-2964-7, PMID 33268866
• Müller, Holger (2. december 2020), »Standard model of particle physics tested by the fine-structure constant«, Nature, 588: 37–38, doi:10.1038/d41586-020-03314-0
• Munafo, Robert P. (2020), The number 137.035... (v angleščini), pridobljeno 5. avgusta 2021
• Murphy, Michael Thomas; Webb, John Kelvin; Flambaum, Victor Vilevich; Dzuba, Vladimir A.; Churchill, Christopher Will; Prochaska, Jason Xavier; Barrow, John David; Wolfe, Arthur Michael (11. november 2001), »Possible evidence for a variable fine-structure constant from QSO absorption lines: motivations, analysis and results«, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 327 (4): 1208–1222, arXiv:astro-ph/0012419, Bibcode:2001MNRAS.327.1208M, doi:10.1046/j.1365-8711.2001.04840.x, S2CID 14294586
• Murphy, Michael Thomas; Webb, John Kelvin; Flambaum, Victor Vilevich (Oktober 2003), »Further evidence for a variable fine-structure constant from Keck/HIRES QSO absorption spectra«, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 345 (2): 609–638, arXiv:astro-ph/0306483, Bibcode:2003MNRAS.345..609M, doi:10.1046/j.1365-8711.2003.06970.x, S2CID 13182756
• Murphy, Michael Thomas; Webb, John Kelvin; Flambaum, Victor Vilevich (6. december 2007), »Comment on "Limits on the Time Variation of the Electromagnetic Fine-Structure Constant in the Low Energy Limit from Absorption Lines in the Spectra of Distant Quasars"«, Physical Review Letters, 99 (23): 239001, arXiv:0708.3677, Bibcode:2007PhRvL..99w9001M, doi:10.1103/PhysRevLett.99.239001, PMID 18233422, S2CID 29266168
• Murphy, Michael Thomas; Webb, John Kelvin; Flambaum, Victor Vilevich (1. marec 2008), »Revision of VLT/UVES constraints on a varying fine-structure constant«, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 384 (3): 1053–1062, arXiv:astro-ph/0612407, Bibcode:2008MNRAS.384.1053M, doi:10.1111/j.1365-2966.2007.12695.x, S2CID 10476451
• Nair, Rahul Raveendran; Blake, Peter; Grigorenko, Alexander N.; Novoselov, Konstantin Sergejevič; Booth, Timothy J.; Stauber, Tobias; Peres, Nuno Miguel Machado Reis; Geim, Andre Konstantinovich (2008), »Fine Structure Constant Defines Visual Transparency of Graphene«, Science, 320 (5881): 1308, arXiv:0803.3718, Bibcode:2008Sci...320.1308N, doi:10.1126/science.1156965, PMID 18388259, S2CID 3024573
• Nambu, Joičiro (Maj 1952), »An empirical mass spectrum of elementary particles«, Progress in Theoretical Physics, 7 (5–6): 595–596, doi:10.1143/PTP.7.5.595
• O'Hanlon, John David; Tam, Kwok-Kee (1969), »Time Variation of the Fundamental Constants of Physics«, Progress of Theoretical Physics, 41 (6): 1596–1598, doi:10.1143/PTP.41.1596
• O'Hanlon, John David (29. maj 1970). Static solutions of the combined Dirac-electromagnetic-gravitational field equations (diplomska naloga). Vancouver: Univerza Britanske Kolumbije. doi:10.14288/1.0302461.
• O'Hanlon, John David; Tam, Kwok-Kee (1. marec 1970), »Stellar Ages and an Extended Theory of Gravitation«, Progress of Theoretical Physics, 43 (3): 684–688, doi:10.1143/PTP.43.684
• Olčak, Andrej Stanislavovič (2009), »О возможной связи фундаментальных констант физики: постоянной тонкой структуры и постоянной Фейгенбаума«, Estestvennie i tehničeskie nauki (№ 2): 19–22
• Olive, Keith; Qian, Yong-Zhong (2003), »Were Fundamental Constants Different in the Past?«, Physics Today, 57 (10): 40–45, Bibcode:2004PhT....57j..40O, doi:10.1063/1.1825267
• Orzel, Chad (14. oktober 2010), Why I'm Skeptical About the Changing Fine-Structure Constant (v angleščini), ScienceBlogs
• Parker, Richard H.; Yu, Chenghui; Zhong, Weicheng; Estey, Brian; Müller, Holger (13. april 2018), »Measurement of the fine-structure constant as a test of the Standard Model«, Science (v angleščini), 360 (6385): 191–195, arXiv:1812.04130, Bibcode:2018Sci...360..191P, doi:10.1126/science.aap7706, ISSN 0036-8075, PMID 29650669, S2CID 4875011, Zbl 1416.81019
• Peres, Asher (27. november 1967), »Constancy of the Fundamental Electric Charge«, Physical Review Letters, 19: 1293–1294, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1293
• Peskin, Michael Edward; Schroeder, Daniel V. (1995), An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press, str. 125, COBISS 19480359, ISBN 978-0-201-50397-5
• Petrov, Jurij Viktorovič (1977), »Естественный ядерный реактор Окло«, Uspehi fizičeskih nauk, Ruska akademija znanosti, 123: 473–486, doi:10.3367/UFNr.0123.197711c.0473
• Planck, Max (Julij 1905), »Pismo P. Ehrenfestu«, Rijksmuseum Leiden, Ehrenfestova zbirka (pristop 1964)
• Poelz, Günter (5. oktober 2016), An Electron Model with Synchrotron Radiation, arXiv:1206.0620v24, Bibcode:2012arXiv1206.0620P
• Riazuddin, Fayyazuddin (2012), A Modern Introduction to Particle Physics (3. izd.), World Scientific, str. 4, COBISS 3722235, ISBN 978-981-4338-83-7, pridobljeno 20. aprila 2017
• Rice, James (1925a), »On Eddington's natural unit of the field, and possible relations between it and the universal constants of physics«, Philosophical Magazine Series 6, 49 (290): 457–463, doi:10.1080/14786442508634622
• Rice, James (1925b), »On Eddington's natural unit of the field«, Philosophical Magazine Series 6, 49 (290): 1056–1057, doi:10.1080/14786442508634622
• Rosen, Gerald Harris (15. februar 1976), »Group-Theoretical Basis for the Value of the Fine-Structure Constant«, Physical Review D, 13 (4): 830–831, Bibcode:1976PhRvD..13..830R, doi:10.1103/PhysRevD.13.830
• Rosenband, Till P.; Hume, David B.; Schmidt, Piet Oliver; Chou, Chin-Wen; Brusch, Anders; Lorini, Luca; Oskay, Windell H.; Drullinger, Robert E.; Fortier, Tara Michele; Stalnaker, Jason Evan; Diddams, Scott A.; Swann, William C.; Newbury, Nathan R.; Itano, Wayne Masao; Wineland, David Jeffrey; Bergquist, James Charles (28. marec 2008), »Frequency Ratio of Al+ and Hg+ Single-Ion Optical Clocks; Metrology at the 17th Decimal Place«, Science, 319 (5871): 1808–1812, Bibcode:2008Sci...319.1808R, doi:10.1126/science.1154622, PMID 18323415, S2CID 206511320
• Rožanski, Vladimir Borisovič (15. junij 1929), »The Ratio of the Mass of the Proton to that of the Electron«, Nature, 123: 911–912, doi:10.1038/123911c0
• Safronova, Marianna S. (17. november 2014), »Viewpoint: Time Trials for Fundamental Constants«, Physics, 7: 117, doi:10.1103/Physics.7.117
• Sambursky, Shmuel (15. avgust 1937), »Static Universe and Nebular Red Shift«, Physical Review, 52: 335–338, doi:10.1103/PhysRev.52.335
• Samuel, Eugenie (30. junij 2004). »Speed of Light May Have Changed Recently«. New Scientist. Pridobljeno 30. januarja 2009.
• Schwinger, Julian (1948), »On Quantum-Electrodynamics and the Magnetic Moment of the Electron« (PDF), Physical Review, 73 (4): 416–417, Bibcode:1948PhRv...73..416S, doi:10.1103/PhysRev.73.416
• Sherbon, Michael A. (2012), »Wolfgang Pauli and the Fine-Structure Constant«, Journal of Science, World Science Publisher, 2 (3): 148–154, doi:10.2139/ssrn.1934553
• Sherbon, Michael A. (2014), »Fundamental Nature of the Fine-Structure Constant«, International Journal of Physical Research, 2 (1): 1–9, doi:10.2139/ssrn.2380218
• Sherbon, Michael A. (2018), »Physical mathematics and The Fine-Structure Constant«, Journal of Advances in Physics, 14 (3): 5758–5764, ISSN 2347-3487
• Sommerfeld, Arnold (1916), »Zur Quantentheorie der Spektrallinien«, Annalen der Physik, 4 (51): 51–52, pridobljeno 6. decembra 2020
• Sommerfeld, Arnold (1916b), »Zur Quantentheorie der Spektrallinien« [On the quantum theory of spectral lines], Annalen der Physik, 4. serija (v nemščini), 51 (17): 1–94, Bibcode:1916AnP...356....1S, doi:10.1002/andp.19163561702 S strani 91: »Wir fügen den Bohrschen Gleichungen (46) und (47) die charakteristische Konstante unserer Feinstrukturen (49) α = 2πe²/ch hinzu, die zugleich mit der Kenntnis des Wasserstoffdubletts oder des Heliumtripletts in §10 oder irgend einer analogen Struktur bekannt ist.« (K Bohrovima enačbama (46) in (47) dodamo karakteristično konstanto naših finih struktur (49) α = 2πe²/ch , ki je znana takoj iz znanja vodikovega dvojčka ali helijevega trojčka v §10 ali kateri drugi podobni strukturi.)
• Sommerfeld, Arnold (1921), Atombau und Spektrallinien (2. izd.), Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, str. 241–242, enačba 8, angleški prevod na spletu »Das Verhältnis ${\displaystyle v_{1}/c}$ nennen wir ${\displaystyle \alpha }$.« (Razmerje imenujemo ... preprosto ...)
• Srianand, Raghunathan; Chand, Hum; Petitjean, Patrick; Aracil, Bastien (26. marec 2004), »Limits on the Time Variation of the Electromagnetic Fine-Structure Constant in the Low Energy Limit from Absorption Lines in the Spectra of Distant Quasars«, Physical Review Letters, 92 (12): 121302, arXiv:astro-ph/0402177, Bibcode:2004PhRvL..92l1302S, doi:10.1103/PhysRevLett.92.121302, PMID 15089663, S2CID 29581666
• Stahov, Oleksij Petrovič; Aranson, Samuil Haimovič (Januar 2016), »The Fine-Structure Constant as the Physical- Mathematical MILLENNIUM PROBLEM«, Physical Science International Journal, 9 (1): 1–36, doi:10.9734/PSIJ/2016/21966, ISSN 2348-0130
• Stanjukovič, Kiril Petrovič (1963), »Possible changes in the gravitational constant«, Soviet Physics — Doklady, 7: 1150–1152
• Stephens, Marric (26. februar 2020), »Constants Still Constant Near Black Holes«, Physics (v angleščini), 13: s28, pridobljeno 10. septembra 2021
• Taylor, Barry Norman; Parker, William Henry; Langenberg, Donald Newton (1. julij 1969), »Determination of e/h, Using Macroscopic Quantum Phase Coherence in Superconductors: Implications for Quantum Electrodynamics and the Fundamental Physical Constants«, Reviews of Modern Physics, 41 (3): 375–496, Bibcode:1969RvMP...41..375T, doi:10.1103/RevModPhys.41.375
• Teller, Edward (1. april 1948), »On the Change of Physical Constants«, Physical Review, 73 (7): 801–802, Bibcode:1948PhRv...73..801T, doi:10.1103/PhysRev.73.801
• Tomilin, Konstantin Aleksandrovič (2006), Фундаментальные физические постоянные в историческом и методологическом аспектах, Moskva: Fizmatlit, str. 368
• Trunin, Dimitrij (12. februar 2018), Постоянная тонкой структуры не изменилась за последние три миллиарда лет (v ruščini), N+1, pridobljeno 10. septembra 2021
• Uzan, Jean-Philippe (2003), »The Fundamental Constants and Their Variation: Observational Status and Theoretical Motivations«, Reviews of Modern Physics, 75 (2): 403–455, arXiv:hep-ph/0205340, Bibcode:2003RvMP...75..403U, doi:10.1103/RevModPhys.75.403, S2CID 118684485
• Uzan, Jean-Philippe (2004), »Variation of the Constants in the Late and Early Universe«, AIP Conference Proceedings, 736: 3–20, arXiv:astro-ph/0409424, Bibcode:2004AIPC..736....3U, doi:10.1063/1.1835171, S2CID 15435796
• Uzan, Jean-Philippe; Leclercq, Bénédicte (2008), »The Natural Laws of the Universe«, The Natural Laws of the Universe: Understanding Fundamental Constants, Springer Praxis, Bibcode:2008nlu..book.....U, COBISS 1540230111, doi:10.1007/978-0-387-74081-2, ISBN 978-0-387-73454-5
• Várlaki, Péter; Nádai, László; Bokor, József (2008), »Number archetypes and 'background' control theory concerning the fine structure constant«, Acta Polytechica Hungarica, 5 (2): 71–104
• Webb, John Kelvin; Flambaum, Victor Vilevich; Churchill, Christopher Will; Drinkwater, Michael John; Barrow, John David (1. februar 1999), »Search for Time Variation of the Fine Structure Constant«, Physical Review Letters, 82 (5): 884–887, arXiv:astro-ph/9803165, Bibcode:1999PhRvL..82..884W, doi:10.1103/PhysRevLett.82.884, S2CID 55638644
• Webb, John Kelvin; King, Julian Alexander; Murphy, Michael Thomas; Flambaum, Victor Vilevich; Carswell, Robert F.; Bainbridge, Matthew B. (31. oktober 2011), »Indications of a Spatial Variation of the Fine Structure Constant«, Physical Review Letters, 107 (19): 191101, arXiv:1008.3907, Bibcode:2011PhRvL.107s1101W, doi:10.1103/PhysRevLett.107.191101, hdl:1959.3/207294, PMID 22181590, S2CID 23236775
• Webb, John Kelvin; Murphy, Michael Thomas; Flambaum, Victor Vilevich; Dzuba, Vladimir A.; Barrow, John David; Churchill, Christopher Will; Prochaska, Jason Xavier; Wolfe, Arthur Michael (9. avgust 2001), »Further Evidence for Cosmological Evolution of the Fine Structure Constant«, Physical Review Letters, 87 (9): 091301, arXiv:astro-ph/0012539, Bibcode:2001PhRvL..87i1301W, doi:10.1103/PhysRevLett.87.091301, PMID 11531558, S2CID 40461557
• Wheeler, John Archibald (1968), »Superspace and the nature of quantum geometrodynamics«, v Zabusky, Norman Julius (ur.), Topics in Nonlinear Physics, New York: Springer-Verlag, str. 615–724
• Whittaker, Edmund Taylor (1945), »Eddington's Theory of the Constants of Nature«, The Mathematical Gazette, 29 (286): 137–144, doi:10.2307/3609461, JSTOR 3609461
• Wilczynska, Michael R.; Webb, John Kelvin; Bainbridge, Matthew B.; Barrow, John David; Bosman, Sarah Elena Ivana; Carswell, Robert F.; Dąbrowski, Mariusz Przemysław; Dumont, Vincent; Lee, Chung-Chi; Leite, Ana Catarina; Leszczyńska, Katarzyna; Liske, Jochen; Marosek, Konrad; Martins, Carlos José Amaro Parente; Milaković, Dinko; Molaro, Paolo; Pasquini, Luca (1. april 2020), »Four direct measurements of the fine-structure constant 13 billion years ago«, Science Advances, 6 (17): eaay9672, arXiv:2003.07627, Bibcode:2020SciA....6.9672W, doi:10.1126/sciadv.aay9672, PMC 7182409, PMID 32917582
• Wilkinson, Denys Haigh (24. marec 1958), »Do the 'Constants of Nature' change with Time?«, Philosophical Magazine Series 8, 3 (30): 582, doi:10.1080/14786435808565799
• Witmer, Enos Edy (3. avgust 1929), »The Relative Masses of the Proton, Electron, and Helium Nucleus«, Nature, 124: 180–181, doi:10.1038/124180a0
• Wyler, Armand (20. oktober 1969), »L'espace symetrique du groupe des equations de Maxwell«, Comptes rendus de l'Académie des sciences Ser. A, 269: 743
• Wyler, Armand (11. januar 1971), »Les groupes des potentiels de Coulomb et de Yukawa«, Comptes rendus de l'Académie des sciences Ser. A, 271: 186
• Xiao, Ke (2011), »Dimensionless Constants and Blackbody Radiation Laws« (PDF), Electronic Journal of Theoretical Physics, 8 (8): 379–388, arhivirano iz prvotnega spletišča (PDF) dne 17. avgusta 2021, pridobljeno 17. avgusta 2021
• Yu, Chenghui; Zhong, Weicheng; Estey, Brian; Kwan, Joyce; Parker, Richard H.; Müller, Holger (21. februar 2019), »Atom-Interferometry Measurement of the Fine Structure Constant«, Annalen der Physik, 531 (5): 1800346, Bibcode:2019AnP...53100346Y, doi:10.1002/andp.201800346

• Portal Astronomija