Kiralnost (matematika)

Királnost je v geometriji oblika, ki ni enaka svoji zrcalni sliki ali, če smo bolj natančni, se ne more preslikati v zrcalno sliko z vrtenjem ali s premikom. Kot zgled poglejmo desni čevelj, ki je različen od levega, ter smer gibanja urinega kazalca se razlikuje od obratne smeri gibanja urinega kazalca.

Zapestnica v sredini je kiralna, ostali dve sta akiralni.

Dvojica enanciomorfnih igralnih kock

.

Kiralno telo in njegova zrcalna slika sta enanciomorfni. Beseda kiralnost izhaja iz grške besede χείρ (roka). Najbolj uporabljan kiralna beseda enanciomorfnost izhaja iz grške besede ἐναντίος ( nasprotni) in μορφή (oblika). Nekirateri oblike imenujemo akiralne ali amfikiralne .

Vijačnica in Möbiusov trak sta kiralna dvorazsežna objekta v trirazsežnem prostoru

Kiralnost in simetrijska grupa

Telo je akiralno samo, če in samo, če njegova simetrijska grupa vsebuje najmanj eno izometrijo z orientacijo, ki se lahko obrne. V evklidski geometriji se izometrija lahko piše kot ${\displaystyle v\mapsto Av+b}$ z ortogonalno matriko ${\displaystyle A}$ in vektorjem ${\displaystyle b}$. Determinanta za je potem ${\displaystyle A}$ je 1 ali −1. Kadar je −1 je izometrija orientacija z orientacijo, ki se lahko obrne, v nasprotnem primeru pa se ohrani.

Kiralnost v treh razsežnostih

V treh razsežnostih ima vsaka oblika, ki ima zrcalno simetrijo ali središče, je akiralno. Ravnina simetrije telesa ${\displaystyle F}$ v ravnini ${\displaystyle P}$, tako, da je ${\displaystyle F}$ invarianta za preslikavo ${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,y,-z)}$, ko je ${\displaystyle P}$ je izbran kot izhodišče koordinatnega sistema. Središče simetrije oblike ${\displaystyle F}$ je točka ${\displaystyle C}$, tako, da je ${\displaystyle F}$ invarianta za preslikavo ${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)}$, ko je ${\displaystyle C}$ izdran za izhodišče koordinatnega sistema. <Bodi pozoren na to, da obstajajo akiralne oblike, ki jim manjka, ravnina in središče simetrije. Zgled za to je oblika

${\displaystyle F_{0}=\left\{(1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0),(0,-1,0),(2,1,1),(-1,2,-1),(-2,-1,1),(1,-2,-1)\right\}}$

ki je invarianta za smer spremembe izometrije ${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)}$ ter je tako akiralna, toda nobena nima središča simetrije. Oblika

${\displaystyle F_{1}=\left\{(1,0,0),(-1,0,0),(0,2,0),(0,-2,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)\right\}}$

je tudi akiralna, enako kot središče simetrije, toda nima ravnine simetrije.

V dveh razsežnostih ima je vsako telo, ki ima os simetrije, akiralno in ga lahko prikažemo kot, da ima vsaka z njim povezana.

Vsako telo, ki je akiralno ima tudi središče osi.

Kiralnost v dveh razsežnostih

V dveh razsežnostih ima vsaka oblika svojo os simetrije, ki je akiralna. Lahko pokažemo tudi, da vsaka povezana akiralna oblika mora imeti os simetrije. Os simetrije oblike ${\displaystyle F}$ Je premica ${\displaystyle L}$, tako, da je ${\displaystyle F}$ invarianta za preslikavo ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,-y)}$ ko je ${\displaystyle L}$ izbran za ${\displaystyle x}$-os koordinatnega sistema. Poglejmo naslednji vzorec:

> > > > > > > > > >
 > > > > > > > > > >

Ta oblika je kiralna, vendar ni enaka s svojo zrcalno sliko:

 > > > > > > > > > >     
> > > > > > > > > >              

Toda, če podaljšamo vzorec v obeh smereh o neskončnosti, se dobi akiralna oblika, ki nima osi simetrije. Simetrijska grupa je frizijska grupa, ki nastane z enostavnim drsnim zrcaljenjem.

Teorija vozlov

Vozel je akiralen, kadar ga lahko zvezno spremenimo v njegovo zrcalno sliko. V nasprotnem primeru je kiralen. Za zgled sta primerna trivialen vozel in osemkratni vozel, ki sta akiralna, trojni vozel pa je kiralen.

Glej tudi

• kiralni politop
• kiralnost (fizika)
• kiralnost (kemija)
• orientacija (matematika)
• pravilo desne roke
• ročnost
• asimetrija
• koeficient simetrije
• algebra oglišč

Zunanje povezave

• Lastnosti aminokislin (kemija) (slovensko)
• Matematična teorija kiralnosti (angleško)
• Simetrija, kiralnost, merilo za simetrijo in merilo za kiralnost (angleško)
• Kiralnost in metrični prostori (angleško)
• Kiralni poliedri na Wolfram Demonstration Project (angleško)
• Ko topologija sreča kemijo (angleško)
• Kiralna mnogoterost v Atlasu mnogoterosti (angleško)
• Kiralnost v kemiji (angleško)