Vijačnica

Vijačnica je vrsta gladke prostorske krivulje. Ta krivulja ima lastnost, da tangenta v vsaki točki tvori konstanten kot s premico, ki ji pravimo os. Primer vijačnice je spiralna vzmet. Kadar vijačnico izpopolnimo tako, da je podobna spiralni poševni ravnini, dobimo helikoid ^[1]. Minimalna ploskev vijačnice je helikoid^[2].

Primer helikoida.

Vijačnica (cos t, sin t, t) od t = 0 do 4π. Puščice kažejo smer naraščanja t.

Vrste vijačnic

A: desnosučna, B: levosučna vijačnica.

Vijačna vzmet.

Vijačnice so lahko desno- ali levosučne. Kadar gledamo vzdolž osi vijačnice in če vrtenje v smeri urinega kazalca premika vijačnico proč od opazovalca, potem je vijačnica desnosučna. V nasprotnem primeru pa je levosučna. Kiralnost je lastnost vijačnice. Ni pa to lastnost načina gledanja. Levosučna vijačnica ne more izgledati kot desnosučna, razen če jo opazujemo v zrcalu.

Večina navojev vijakov je desnosučnih vijačnic. Vijačnica alfa ter obliki A in B DNK so desnosučne vijačnice. Oblika Z pa je levosučna.

Korak vijačnice je širina enega popolnega obrata vijačnice, kot bi ga izmerili vzdolž osi.

Dvojna vijačnica je sestavljena iz dveh skladnih vijačnic z isto osjo. Razlikujeta se samo s premikom vzdolž osi.^[3]

Stožčasto vijačnico lahko definiramo kot spiralo na stožčasti ploskvi.

Krožna vijačnica ima konstantno ukrivljenost in konstantno torzijo.

Krivuljo imenujemo cilindrična ali splošna vijačnica^[4], če tangenta tvori konstanten kot s fiksno premico v prostoru. Krivulja je vijačnica, če je razmerje ukrivljenosti s torzijo konstantno.^[5]

Matematični opis vijačnice

Vijačnica je krivulja v trirazsežnem prostoru. Naslednja parametrizacija v kartezičnih koordinatah je vijačnica definirana z ^[2]

${\displaystyle x(t)=\cos(t),\,}$

${\displaystyle y(t)=\sin(t),\,}$

${\displaystyle z(t)=t.\,}$

Ko parameter t raste, točka (x(t),y(t),z(t)) opiše desnosučno vijačnico s korakom 2π in polmerom 1.

V cilindričnih koordinatah (r, θ, h) je ista vijačnica določena z

${\displaystyle r(t)=1,\,}$

${\displaystyle \theta (t)=t,\,}$

${\displaystyle h(t)=t\,}$.

Krožna vijačnica s polmerom a in korakom 2 πb je določena z

${\displaystyle x(t)=a\cos(t),\,}$

${\displaystyle y(t)=a\sin(t),\,}$

${\displaystyle z(t)=bt.\,}$

Ukrivljenost in torzija

Ukrivljenost vijačnice je enaka

${\displaystyle {\frac {|a|}{a^{2}+b^{2}}}}$

kjer sta

• a in b določena z zgornjo enačbo

Torzija krivulje pa je ${\displaystyle {\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\,}$

kjer sta

• a in b določena z zgornjo enačbo

Glej tudi

• vijačnica alfa
• Boerdijk-Coxeterjeva vijačnica
• kolagen
• dvojna vijačnica nukleinske kisline
• helikoid
• tuljava