Interval (matematika)

Interval v matematike je množina všetkých reálnych čísel ležiacich medzi dvoma reálnymi číslami a, b. Napríklad množina ${\displaystyle x}$ spĺňajúcich nerovnosť ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$, čo sa zapisuje v tvare ${\displaystyle [0,1]}$. Iným príkladom intervalu je množina všetkých reálnych čísel ${\displaystyle \mathbb {R} }$, čo sa zapisuje aj v tvare ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$, alebo množina všetkých záporných reálnych čísel ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$, čo zapisujeme ako ${\displaystyle (-\infty ,0)}$teda mínus nekonečno až nula. Krajné body do intervalu môžu, ale nemusia patriť, podľa toho či v jeho špecifikácii sú ostré alebo neostré nerovnosti.

Všeobecne je v abstraktnej matematike interval definovaný ako podmnožina S nejakej lineárne usporiadanej množiny T, pre ktorú platí:

${\displaystyle {x,y\in S}\land {\displaystyle x<z<y}}$, potom ${\displaystyle {z\in S}}$

Vyššie uvedená definícia je potom dôležitým špeciálnym prípadom s ${\displaystyle {T=\mathbf {R} }}$.

Označenia intervalov

Typy intervalov

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a<x<b\},\\{}[a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x<b\},\\(a,b]&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a<x\leq b\},\\{}[a,b]&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}}$

V literatúre sa tiež možno stretnúť s označením pre ostrú hranicu znakmi < a > a s oddeľovačom hraníc intervalu znakom ;, aby nedošlo k zámene s desatinnou čiarkou.

Terminológia

Otvorený interval neobsahuje svoje krajné body, a je označovaný pomocou oblých zátvoriek. Napríklad ${\displaystyle (0,1)}$ predstavuje čísla väčšie ako 0 a menšie ako 1.

Uzavretý interval obsahuje aj krajné body a označuje sa pomocou hranatých zátvoriek alebo pomocou znakov < a >. Napríklad ${\displaystyle [0,1]}$ znamená čísla väčšie alebo rovné ako 0 a menšie alebo rovné ako 1.

Polootvorený alebo polouzavretý interval je interval, ktorý je na jednom konci uzavretý a na druhom otvorený.

Vlastnosti

• Prienik dvoch intervalov je interval.
• Interval je konvexná množina.
• Zjednotenie dvoch intervalov je interval práve vtedy a len vtedy, ak intervaly majú neprázdny prienik, alebo ak otvorená hranica jedného intervalu je uzavretou hranicou druhého intervalu.^[1]