Hybnosť

Hybnosť (značka p alebo H) je vektorová fyzikálna veličina, ktorá charakterizuje pohybový účinok hmotnosti (zavisí na hmotnosti aj rýchlosti telesa). Smer aj orientácia vektora hybnosti je zhodná so smerom vektora rýchlosti telesa. Jej jednotkou je kg m s^-1.

Rýchlosť je užitočná veličina pre opis kinematiky sústavy, teda toho, ako sa polohy telies menia s časom. Z reálneho života je však jasné, že je niečo úplne iné keď máme zastaviť kočiar idúci rýchlosťou 1 m/s , ako keď sa pokúsime zastaviť vagón s hmotnosťou 20 ton idúci presne tou istou rýchlosťou. Pre popis dynamiky (vzťahu medzi silami a pohybom) je preto namiesto rýchlosti potrebná iná veličina a tou je práve hybnosť.

Výpočet hybnosti

Hybnosť telesa s hmotnosťou ${\displaystyle m}$ pohybujúcim sa rýchlosťou ${\displaystyle {\vec {v}}}$ je daná vzorcom

${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$

Z tohto vzorca vyplýva jednotka hybnosti v sústave SI: SI jednotkou hmotnosti je kilogram a SI jednotkou rýchlosti je meter za sekundu, teda jednotka hybnosti je ${\displaystyle kg\cdot m/s=kg\,m\,s^{-1}.}$

2. Newtonov pohybový zákon, tzv. Zákon sily

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$

sa dá prepísať tak, aby v ňom vystupovala hybnosť. Ak je hmotnosť telesa konštantná, potom zmena hybnosti je daná iba zmenou rýchlosti ${\displaystyle \Delta {\vec {v}}\,}$a je rovná ${\displaystyle \Delta {\vec {p}}=m\Delta {\vec {v}}.\,}$

Zrýchlenie ${\displaystyle {\vec {a}}}$ je však definované ako zmena rýchlosti za čas, teda platí ${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}.\,}$ Kombináciou posledných dvoch vzťahov dostaneme:

${\displaystyle m{\vec {a}}=m{\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}={\frac {\Delta {\vec {p}}}{\Delta t}},\,}$

a teda

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {\Delta {\vec {p}}}{\Delta t}}.}$

Zákon zachovania hybnosti

Ak na sústavu nepôsobia žiadne vonkajšie sily, jej celková hybnosť (súčet hybností všetkých jej častí) sa v čase nemení, zachováva sa. Vtedy hovoríme o zákone zachovania hybnosti.

Hybnosť a zrážky

Zákon zachovania hybnosti je užitočný na výpočet výsledných rýchlostí telies po ich vzájomnej zrážke. Pri tzv. pružnej (elastickej) zrážke dvoch telies sa okrem hybnosti zachováva aj ich kinetická energia, pri nepružnej zrážke sa zrážajúce telesá zrazia do jedného a pokračujú už ako jeden objekt.

Nepružná zrážka

Nepružná zrážka telies s rovnakou hmotnosťou ${\displaystyle m}$, pričom jedno z nich pred zrážkou stojí a druhé sa pohybuje rýchlosťou ${\displaystyle v}$. Výsledná rýchlosť telesa ${\displaystyle 2m}$ je ${\displaystyle v/2}$, celková hybnosť pred zrázkou je ${\displaystyle mv}$, po zrážke je taktiež ${\displaystyle 2m\cdot v/2=mv}$.

Nech ${\displaystyle m_{1}}$ a ${\displaystyle m_{2}}$ sú hmotnosti dvoch telies pohybujúcich sa po tej istej priamke a ${\displaystyle v_{1}}$ a ${\displaystyle v_{2}}$ ich rýchlosti. (Všetky rýchlosti sú kladné, ak smerujú v kladom smere x-ovej osi, inak sú zaporné). V prípade nepružnej zrážky vytvoria telesá ${\displaystyle m_{1}}$ a ${\displaystyle m_{2}}$ jedno teleso s hmotnosťou ${\displaystyle m_{1}+m_{2}}$ a výslednou rýchlosťou ${\displaystyle u}$. Tú je možné vypočítať zo zákona zachovania hybnosti:

${\displaystyle m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=(m_{1}+m_{2})u}$

a teda

${\displaystyle u={\frac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$.
Príkladom nepružnej zrážky je napríklad zrážka náboja s telesom, v ktorom náboj uviazne. Mechanická energia sa v tomto prípade vo všeobecnosti nezachováva:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})u^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2}){\frac {(m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2})^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {m_{1}(m_{1}+m_{2})v_{1}^{2}+m_{2}(m_{1}+m_{2})v_{2}^{2}-(m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2})^{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}(v_{1}-v_{2})^{2}}$Táto kinetická energia sa typicky uvoľní ako teplo pri zrážke.

Pružná zrážka

Nech ${\displaystyle m_{1}}$ a ${\displaystyle m_{2}}$ sú hmotnosti dvoch telies pohybujúcich sa po tej istej priamke a ${\displaystyle v_{1}}$ a ${\displaystyle v_{2}}$ ich rýchlosti pred zrážkou a ${\displaystyle u_{1}}$ a ${\displaystyle u_{2}}$ ich rýchlosti po zrážke. (Všetky rýchlosti sú kladné, ak smerujú v kladom smere x-ovej osi, inak sú zaporné) V prípade pružnej zrážky platia naraz zákony zachovania hybnosti a mechanickej energie:

${\displaystyle m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}}$

Tento systém rovníc s neznámymi ${\displaystyle u_{1}}$ a ${\displaystyle u_{2}}$má dve riešenia. Prvé z nich je fyzikálne nezaujímavé: ${\displaystyle u_{1}=v_{1}}$a ${\displaystyle u_{2}=v_{2}}$, ktoré zodpovedá situácii, že telesá sa nezrazili.

Na rýchle získanie druhého riešenia je možné preskupiť rovnice nasledovne:

${\displaystyle m_{1}(v_{1}-u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})}$

${\displaystyle m_{1}(v_{1}^{2}-u_{1}^{2})=m_{2}(u_{2}^{2}-v_{2}^{2})}$

Predelením druhej rovnice prvou a využitím ${\displaystyle a+b={\frac {a^{2}-b^{2}}{a-b}}}$je možné získať

${\displaystyle v_{1}+u_{1}=v_{2}+u_{2}}$