Trokut

Trokut ili trougao je geometrijski lik koji ima 3 stranice, 3 kuta i 3 vrha. Zbroj kutova u trokutu čini ispruženi kut.

Pravokutni trokut

Jednakokračan trokut

Jednakostranični trokut

Vrste

Trokute prema vrsti kutova dijelimo na: pravokutne, šiljastokutne i tupokutne.

• Pravokutan trokut ima jedan pravi kut.
• Šiljastokutan trokut ima sve kutove šiljaste.
• Tupokutan trokut ima jedan tupi kut.

Trokuti se dijele i prema vrstama stranica: raznostranični, jednakostranični te jednakokračni.

• Raznostraničan trokut je onaj trokut kome su sve stranice različitih duljina.
• Jednakostranični trokut je onaj kome su sve stranice istih dužina.
• Jednakokračni trokut je onaj kome su dvije stranice istih duljina, i te stranice se nazivaju krakovi, dok je treća stranica (osnovica) različite duljine od duljine kraka.

Svojstva

Opseg, tj. zbroj duljina svih stranica se stoga može računati na tri načina, koristeći se gore navedenim svojstvima:

• za jednakostranični trokut: 3a, gdje je a duljina stranice;
• za jednakokračni trokut: 2a + b, gdje je a duljina kraka, a b duljina osnovice;
• za raznostranični trokut: a + b + c, gdje su a, b i c duljine pojedinih stranica.

Nadalje se definiraju još dvije karakteristične dužine:

Površina

Površina P se tada računa kao:

${\displaystyle P={\frac {av_{a}}{2}}}$

gdje je a stranica, a v_a visina nad tom stranicom.

Površinu P tako možemo računati i po Heronovoj formuli (Heronov obrazac):

${\displaystyle P={\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}}$

${\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}$

${\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

${\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}$

${\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.}$

gdje je s poluopseg trokuta; s = (a + b + c) / 2.

Za površinu trokuta P vrijede i formule:

${\displaystyle P=s\cdot r}$

${\displaystyle P={\frac {abc}{4R}}}$

gdje je R duljina polumjera trokutu opisane kružnice, a r duljina polumjera trokutu upisane kružnice.

Površina pravokutnog trokuta

Površina pravokutnog trokuta se računa prema formuli:

${\displaystyle P={\frac {a\cdot b}{2}}}$

U ovoj formuli, a i b su katete pravokutnog trokuta, odnosno stranice trokuta koje zatvaraju pravi kut. Formula se izvodi iz činjenice da stranice pravokutnika s jednom dijagonalom pravokutnika čine pravokutan trokut, gdje su stranice pravokutnika katete pravokutnog trokuta, a dijagonala pravokutnika hipotenuza pravokutnog trokuta. Na taj način od jednog pravokutnika dobivamo dva sukladna pravokutna trokuta, pa je i površina dobivenog trokuta dva puta manja od površine pravokutnika, koja iznosi ab.

Kutovi

Svojstvo kutova trokuta je da se nasuprot većoj stranici nalazi veći kut, a nasuprot manjoj stranici se nalazi manji kut. Zahvaljujući tom svojstvu možemo zaključiti puno o trokutima. Npr., kod jednakostraničnog trokuta imamo i sve jednake kutove 60°, kod jednakokračnog trokuta imamo 2 jednaka i 1 različit kut, a kod raznostraničnog trokuta imamo tri različita kuta. Zbroj sva tri unutarnja kuta u trokutu uvijek iznosi α + β + γ = 180°. Zahvaljujući ovom svojstvu trokuta možemo riješiti neke zadatke, primjerice: Ako je: α=60°, β=80°, γ=? Primjećujemo da se u zadatku traži treći kut, tj. γ. Ovaj ćemo zadatak riješiti koristeći svojstvo kutova, pa ćemo dobiti: α + β + γ = 180°, iz čega uvrštavanjem proizlazi: 60° + 80° + γ = 180°. Dolazimo na rješavanje linearne jednadžbe,pa iz toga slijedi: γ = 180° - 60° - 80°, a odatle slijedi da je γ = 40°.

Zbroj sva tri vanjska kuta u trokutu uvijek iznosi α₁ + β₁ + γ₁ = 360°. Prema pravilu zbroja kutova u trokutu vrijedi α₁ = β + γ, β₁ = α + γ, te γ₁ = α + β.

Težišnice trokuta (narančasto), ortocentar (plavo), središte trokutu opisane kružnice (zeleno) te Eulerov pravac (crveno)

Karakteristične točke i pravci trokuta

Težišnica trokuta spaja vrh s polovištem nasuprotne stranice. Tri težišnice sijeku se u točki koja se naziva težište trokuta. Težište trokuta dijeli svaku težišnicu u omjeru 2:1, mjereći od vrha trokuta.^[1] Težište trokuta u omjeru 2:1 dijeli i dužinu koja spaja ortocentar i središte trokutu opisane kružnice, mjereći od ortocentra.

Ortocentar je sjecište visina trokuta.

Središte trokutu upisane kružnice sjecište je simetrala unutarnjih kutova trokuta. Simetrale dvaju vanjskih kutova pri dvama vrhovima i simetrala unutarnjega kuta pri trećem vrhu trokuta sijeku se u središtu trokutu pripisane kružnice.^[1]

Središte trokutu opisane kružnice je sjecište simetrala stranica trokuta. Ako je trokut šiljastokutan, ono se nalazi unutar trokuta. Ako je trokut pravokutan, ono se nalazi na polovištu hipotenuze. Ako pak je trokut tupokutan, ono se nalazi izvan trokuta.

Eulerov pravac je pravac na kojemu leže tri središta trokuta: težište, središte opisane kružnice i ortocentar. Jednoznačno je određen za svaki trokut osim jednakostraničnoga.^[1] Središte trokutu upisane kružnice nikad ne leži na Eulerovom pravcu, osim ako je trokut jednakokračan ili jednakostraničan.^[2]

Feuerbachova kružnica prolazi kroz nožišta visina, polovišta stranica i polovišta dužina vrh-ortocentar.

Symmedijana je pravac osnosimetričan na težišnicu s obzirom na simetralu odgovarajućeg kuta. Sve tri symmedijane sijeku se u Lemoinovoj točki.

Simsonov pravac. Ako se iz neke točke na trokutu opisanoj kružnici spuste visine na stranice, nožišta tih visina su kolinearna, za njih se kaže da leže na Simsonovom pravcu.

Sukladnost

Dva ili više trokuta mogu biti sukladni. Ukoliko se iz jednog trokuta translacijom, rotacijom i refleksijom može dobiti drugi, oni su sukladni.

Sukladnost (jednakost) se dokazuje poučcima o sukladnosti:

• S-S-S, tj. stranica-stranica-stranica. Trokuti su, po tom poučku, sukladni ako se podudaraju u tri stranice, tj. ako imaju tri jednake stranice.
• K-S-K, tj. kut-stranica-kut.
• S-K-S, tj. stranica-kut-stranica.
• S-S-K, tj. stranica-stranica-kut nasuprot većoj stranici.

Sličnost

Dva ili više trokuta mogu biti slični. Slični trokuti imaju jednake kuteve te im se sve stranice odnose u istom omjeru:

${\displaystyle a_{1}:a'_{1}=a_{2}:a'_{2}=a_{3}:a'_{3}=k}$

Površine im se odnose kao:

${\displaystyle P:P'=k^{2}}$

Ako su dva trokuta slična, tada se iz jednoga translacijom, rotacijom, refleksijom i skaliranjem može dobiti drugi.

Sličnost se dokazuje poučcima o sličnosti:

• S-S-S, tj. stranica — stranica — stranica. Prema tom poučku, trokuti su slični ako im se sve odgovarajuće stranice odnose u istom omjeru.
• S-K-S, tj. stranica — kut — stranica. Prema tom poučku, trokuti su slični ako im se jedan par odgovarajućih stranica odnosi u istom omjeru, te im je kut između tih stranica jednak.
• K-K, tj. kut — kut. Prema tom poučku, trokuti su slični ukoliko imaju jedan par jednakih kuteva.

Izvori

1. Trokut. Hrvatska enciklopedija. Leksikografski zavod Miroslav Krleža. Preuzeto 31. srpnja 2016..
2. Triangles have a Magic Highway - Numberphile (engleski). YouTube.

Povezano

• Jednakostranični trokut
• Kvadrat
• Pitagorin poučak

Trokut na Wikimedijinoj ostavi