Paskalov trougao

Paskalov trougao predstavlja beskonačan niz prirodnih brojeva, koji je u obliku piramidalne šeme. Svaki broj u jednom redu predstavlja zbir brojeva koji su iznad njega. Krajnji brojevi šeme su uvek jedinice. Ovi brojevi posmatrani po vrstama ponašaju se kao binomni koeficijenti. Naziv je dobio po matematičaru Blezu Paskalu.

          1
        1   1
      1   2   1
    1   3   3   1
  1   4   6   4   1
1   5  10  10   5   1

Prvih šest kolona paskalovog trougla

Na primer, k-ti broj u n-tom redu je jednak ${\displaystyle {n \choose k}}$ i čita se kao n nad k. Zbog simetričnosti redova, nije bitno da li se broji sleva ili sdesna.

Paskalov trougao

U početnu vrstu upisuje se 1. Pretpostavljajući da svaka vrsta počinje i završava se sa po jednom nulom (ove nule se ne pišu), svaka vrsta se obrazuje pomoću prethodne sabiranjem po dva uzastopna člana u prethodnoj vrsti i ispisivanjem svakog zbira u sredini razmaka između sabiraka.

1. Zbir Sn brojeva u n-toj vrsti je udvostručen zbir Sn-1 brojeva u prethodnoj vrsti. To je zato što se među članovima n-te vrste koji obrazuju sumu Sn po dva puta javlja svaki od brojeva iz prethodne vrste.
2. U svakoj vrsti, dva od krajeva jednako udaljena člana međusobno su jednaka. Kod prvih vrsta može se zapaziti simetrija u odnosu na vertikalnu osu figure. Prema pravilu po kom formiramo vrste, ova simetrija prelazi sa svake vrste na sledeću i tako se beskrajno nastavlja.
3. U svakoj vrsti, zbir elemenata parnih rednih brojeva i zbir elemenata neparnih rednih brojeva je jednak. Svaki od njih je zbir u kome po jedanput figuriše svaki od elemenata prethodne vrste.
4. Elemenat koji nastaje sabiranjem uzastopnih elemenata a i b prethodne vrste (a se nalazi levo a b desno), jednak je zbiru brojeva na koje se nailazi penjući se bilo od a po paraleli leve stranice trougla, bilo od b po paraleli desne stranice. Mogu se izvršiti numerička proveravanja, na primer za broj 15, koji se nalazi u sedmoj vrsti: (5+4+3+2+1 i 10+4+1)
5. Može se primetiti da u napisanim vrstama članovi rastu ukoliko se približavamo središnjoj koloni. Jasno je da, ako ovaj zakon važi za jednu vrstu, važi i za sledeću. On je dakle, opšti. Svaka vrsta neparnog rednog broja ima član koji je jednako udaljen od krajeva, veći je od svih ostalih brojeva.

Paskalov trougao na Wikimedijinoj ostavi

Historijat

Obrazac brojeva koji formira Paskalov trougao bio je poznat mnogo prije Paskalovog vremena. Paskal je inovirao mnoge ranije nepotvrđene upotrebe brojeva trougla, koje je sveobuhvatno opisao u najranijoj poznatoj matematičkoj raspravi koja je posebno posvećena trouglu, svojoj Traité du triangle arithmétique (1654; objavljenoj 1665).

Stoljećima prije, rasprava o brojevima nastala je u kontekstu indijskih studija kombinatorike i binomnih brojeva. Jedan od indijskih matematičara, Pingala, je uočio ovo, te ga je izučavao. Dok je Pingalino djelo opstalo samo u fragmentima, komentator Varāhamihira, oko 505. godine, dao je jasan opis formule aditiva, a detaljnije objašnjenje istog pravila dao je Halayudha, oko 975. Halayudha je također objasnio nejasne reference na Meru-prastaara , stepenište planine Meru, dajući prvi sačuvani opis rasporeda ovih brojeva u trokut.

Otprilike u isto vrijeme, perzijski matematičar Al-Karaji (953–1029) napisao je danas izgubljenu knjigu koja je sadržavala prvi opis Pascalovog trougla. Kasnije ga je ponovio perzijski pjesnik-astronom-matematičar Omar Khayyám (1048–1131); stoga se trougao u Iranu naziva i Khayyam trougao. Poznato je nekoliko teorema vezanih za trokut, uključujući i binomnu teoremu. Khayyam je koristio metodu pronalaženja n-tog korijena zasnovanu na binomnoj ekspanziji, a time i na binomnim koeficijentima.

U Evropi se Pascalov trougao prvi put pojavio u Aritmetici Jordanusa de Nemorea (13. vek). Binomne koeficijente izračunao je Gersonid početkom 14. stoljeća, koristeći za njih multiplikativne formule. Petrus Apianus (1495–1552) objavio je cijeli trokut na prednjoj strani svoje knjige o poslovnim proračunima 1527. Michael Stifel objavio je dio trougla (od drugog do srednjeg stupca u svakom redu) 1544, opisujući ga kao tabela figurativnih brojeva. U Italiji se Pascalov trougao naziva Tartagliin trougao, nazvan po italijanskom algebraistu Niccolòu Fontana Tartaglia (1500–1577), koji je objavio šest redova trougla 1556. Gerolamo Cardano je također objavio trougao kao i aditiv i multiplikativna pravila za njegovu izgradnju 1570.

Pascalov Traité du triangle arithmétique (Traktat o aritmetičkom trouglu) objavljen je 1655. U njemu je Pascal prikupio nekoliko tada poznatih rezultata o trouglu i koristio ih za rješavanje problema u teoriji vjerovatnoće. Trokut je kasnije dobio ime po Pascalu od strane Pierrea Raymonda de Montmorta (1708) koji ga je nazvao "Table de M. Pascal pour les combinaisons" (francuski: Table of Mr. Pascal za kombinacije) i Abraham de Moivre (1730) koji ga je nazvao " Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM" (latinski: Pascalov aritmetički trokut), koji je postao moderno zapadnjačko ime.