Matrica (matematika)

U matematici, matrica je pravokutna tablica brojeva, ili općenito, tablica koja se sastoji od apstraktnih objekata koji se mogu zbrajati i množiti.

Matrice se koriste za opisivanje linearnih jednadžbi, za praćenje koeficijenata linearnih transformacija, kao i za čuvanje podataka koji ovise od dva parametra. Matrice se mogu zbrajati, množiti i razlagati na razne načine, što ih čini ključnim konceptom u linearnoj algebri i teoriji matrica.

Horizontalne se linije u matrici zovu retcima, a vertikalne stupcima matrice. Matrica sa m redaka i n stupaca se naziva m-sa-n matricom (kaže se i zapisuje da je formata m×n) a m i n su dimenzije matrice.

Član matrice A koji se nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu se naziva (i,j)-ti član matrice A. Ovo se zapisuje kao A_i,j ili A[i,j]. Uvijek se prvo naznačuje redak, pa stupac.

Često se piše $A:=(a_{i,j})_{m\times n}$ kako bi se definirala m × n matrica A čiji se svaki član A[i,j] naziva a_i,j za sve 1 ≤ i ≤ m i 1 ≤ j ≤ n. Međutim, konvencija da i i j počinju od 1 nije univerzalna: neki programski jezici započinju od nule, u kom slučaju imamo 0 ≤ i ≤ m − 1 i 0 ≤ j ≤ n − 1.

Matricu čija je jedna od dimenzija jednaka jedinici često nazivamo vektorom, i interpretiramo je kao element realnog koordinatnog prostora. 1 × n matrica (jedan redak i n stupaca) se naziva vektor redak, a m × 1 matrica (jedan stupac i m redaka) se naziva vektor stupac.

Matrica

A={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\end{bmatrix}}

je 4×3 matrica. Element A[2,3] ili a_2,3 je 7.

Matrica

R={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\end{bmatrix}}

je 1×9 matrica, ili vektor redak sa 9 elemenata.

Zbrajanje

Ako uzmemo matrice A i B, dimenzija m-sa-n, njihov zbroj A + B je m-sa-n matrica, izračunata zbrajanjem odgovarajućih elemenata (t.j. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Na primjer:

{\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}

Množenje skalarom

Ako uzmemo matricu A i broj c, skalarni produkt cA se računa množenjem skalarom c svakog elementa A (t.j. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Na primjer:

2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot (-3)\\2\cdot 4&2\cdot (-2)&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}

Operacije zbrajanja i množenja skalarom pretvaraju skup M(m, n, R) svih m-sa-n matrica sa realnim članovima u realni vektorski prostor dimenzije mn.

Množenje matrica

Množenje dvije matrice je dobro definirano samo ako je broj stupaca lijeve matrice jednak broju redaka desne matrice. Ako je A matrica dimenzija m-sa-n, a B je matrica dimenzija n-sa-p, tada je njihov umnožak AB matrica dimenzija m-sa-p (m redaka, p stupaca) dan formulom:

\,\!(AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[n,j]

za svaki par i i j.

Na primjer:

{\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\cdot 3+0\cdot 2+2\cdot 1)&(1\cdot 1+0\cdot 1+2\cdot 0)\\((-1)\cdot 3+3\cdot 2+1\cdot 1)&((-1)\cdot 1+3\cdot 1+1\cdot 0)\\\end{bmatrix}}

={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}

Množenje matrica ima sljedeća svojstva:

(AB)C = A(BC) za sve k-sa-m matrice A, m-sa-n matrice B i n-sa-p matrice C (asocijativnost).
(A + B)C = AC + BC za sve m-sa-n matrice A i B i n-sa-k matrice C (desna distributivnost).
C(A + B) = CA + CB za sve m-sa-n matrice A i B i k-sa-m matrice C (lijeva distributivnost).

Valja znati da komutativnost ne vrijedi u općem slučaju; ako su dane matrice A i B, čak i ako su oba umnoška definirana, u općem slučaju je AB ≠ BA.

Posebno, skup M(n, R) svih kvadratnih matrica reda n je realna asocijativna algebra sa jedinicom, koja je nekomutativna za n ≥ 2.

Matrice mogu na zgodan način predstaviti linearne transformacije jer množenje matrica odgovara slaganju preslikavanja, kao što će dalje biti opisano. Upravo ovo svojstvo matrice čini moćnom strukturom podataka u višim programskim jezicima.

Ovdje i u nastavku, promatramo Rⁿ kao skup stupaca ili n-sa-1 matrica. Za svako linearno preslikavanje f : Rⁿ → R^m postoji jedinstvena m-sa-n matrica A, takva da f(x) = Ax za svako x u Rⁿ. Kažemo da matrica A predstavlja linearno preslikavanje f. Ako k-sa-m matrica B predstavlja drugo linearno preslikavanje g : R^m → R^k, tada je njihova kompozicija g o f također linearno preslikavanje R^m → Rⁿ, i predstavljeno je upravo matricom BA. Ovo slijedi iz gorepomenute asocijativnosti množenja matrica.

Općenito, linearno preslikavanje iz n-dimenzionog vektorskog prostora u m-dimenzioni vektorski prostor je predstavljeno m-sa-n matricom, ako su izabrane baze za svaki.

Rang matrice A je dimenzija slike linearnog preslikavanja predstavljenog sa A; ona je ista kao dimenzija prostora generiranog retcima A, i također je iste dimenzije kao prostor generiran stupcima A.

Transponirana matrica, matrice m-sa-n, A je n-sa-m matrica A^tr (nekad se zapisuje i kao A^T ili ^tA), koja nastaje pretvaranjem stupaca u retke i redaka u stupce, to jest A^tr[i, j] = A[j, i] za svaki i i j. Ako A predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dvije baze, tada matrica A^tr predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dualne baze (vidi dualni prostor).

Vrijedi (A + B)^tr = A^tr + B^tr i (AB)^tr = B^tr A^tr.

Rang matrice

Kratke činjenice

Zatvori