Jednakostranični trougao

Jednakostranični trougao (u starijoj literaturi je moguće naći i izraze jednakostrani, ravnostrani) je trougao čije su sve stranice jednake

${\displaystyle a=b=c\,}$ odnosno ${\displaystyle AB=BC=CA\,}$

Jednakostranični trougao, upisani i opisani krug

takođe, svi uglovi su jednaki

${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma ={\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }}$.

Može se upisati i opisati krug. Poluprečnik opisanog kruga se označava sa R (velikim latiničnim slovom r), a poluprečnik upisanog sa r (malim latiničnim slovom r). Inače se poluprečnik obilježava sa "r" ili "R" (en. radius), a prečnik sa "d" ili "D" (en. diameter).

Jednakostraničan trougao se može naći u mnogim geometrijskim konstrukcijama. Pravilan šestougao se sastoji od šest jednakostraničnih trouglova. Tri od pet pravilnih poliedara (Platonova tela) sadrže jednakostranične trouglove kao stranice.

Ako se jednakostraničan trougao može smatrati pravilnom geometrijskom slikom sa najmanjim brojem temena odnosno stranica u ravni tada se pravilan tetraedar, koji se sastoji od četiri jednakostranična trougla, može smatrati analogonom u tri dimenzije, jer je on pravilno geometrijsko telo sa najmanjim brojem temena, ivica odnosno stranica.

Svojstva

Presek težišnih duži (T), presek visina (H), simetrala stranica (centar opisane kružnice O), simetrala uglova (centar upisane kružnice O) se seku u jednoj tački.

Presek težišta, ortocentra, simetrale ugla simetrale stranice

Težišne duži su međusobno jednake.

${\displaystyle t_{a}=t_{b}=t_{c}=t\,}$

Visine su međusobno jednake.

${\displaystyle h_{a}=h_{b}=h_{c}=h\,}$

Težišne duži su podudarne visinama. Takođe, težišne duži su podudarne simetralama uglova i stranica.

${\displaystyle h\cong t\,}$

Težišne duži se seku u razmeri 2:1, odnosno tačka u kojoj se seku sve duži deli duž u odnosu 2:1.
Ovo su osobine koje su jedinstvene za jednakostraničan trougao.

Ostale osobine

${\displaystyle {\frac {R}{r}}={\frac {\frac {a}{\sqrt {3}}}{{\frac {\sqrt {3}}{6}}a}}={\frac {6}{3}}=2}$^[1]

Odnos površine kružnice upisane u jednakostranični trougao i površine trougla je

${\displaystyle {\frac {\frac {3a^{2}\pi }{36}}{\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}={\frac {12a^{2}\pi }{36a^{2}{\sqrt {3}}}}={\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

Odnos površine trougla i kvadrata njegovog obima

${\displaystyle {\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{36a^{2}}}={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{36a^{2}}}={\frac {1}{12{\sqrt {3}}}}}$

Ako su vrhovi ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{3}}$ trougla ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}$ određeni su kompleksnim brojevima ${\displaystyle z_{1}}$, ${\displaystyle z_{2}}$, ${\displaystyle z_{3}}$ respektivno, tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna:

1. ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}$ je jednakostraničan trougao
2. ${\displaystyle \mid z_{1}-z_{2}\mid =\mid z_{2}-z_{3}\mid =\mid z_{3}-z_{1}\mid }$
3. ${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}=z_{1}z_{2}+z_{2}Z_{3}+z_{3}z_{1}}$
4. ${\displaystyle {\frac {z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}}={\frac {z_{3}-z_{2}}{z_{1}-z_{2}}}}$
5. ${\displaystyle {\frac {1}{z-z_{1}}}={\frac {1}{z-z_{2}}}={\frac {1}{z-z_{3}}}}$ za ${\displaystyle z={\frac {z-1+z_{2}+z_{3}}{3}}}$
6. ${\displaystyle (z_{1}+\epsilon z_{2}+\epsilon ^{2}z_{3})(z_{1}+\epsilon ^{2}z_{2}+\epsilon z_{3})=0}$ za ${\displaystyle \epsilon =cos{\frac {2\pi }{3}}+isin{\frac {2\pi }{3}}}$
7. ${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&1&1\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\\z_{2}&z_{3}&z_{1}\end{vmatrix}}=0}$

Ako su ${\displaystyle A1(a_{1}}$), ${\displaystyle A_{2}(a_{2})}$ i ${\displaystyle A_{3}(a_{3})}$ vrhovi pozitivno orijentisanog trougla ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}$, onda su sledeće tvrdnje ekvivalentne:

1. ${\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}}$ je jednakostraničan trougao;
2. ${\displaystyle z_{3}-z_{1}=\epsilon (z_{2}-z_{1})}$, gde je ${\displaystyle \epsilon =cos{\frac {\pi }{3}}+isin{\frac {\pi }{3}}}$
3. ${\displaystyle z_{2}-z_{1}=\epsilon (z_{3}-z_{1})}$, gde je ${\displaystyle \epsilon =cos{\frac {5\pi }{3}}+isin{\frac {5\pi }{3}}}$
4. ${\displaystyle z_{1}+\epsilon z_{2}+\epsilon ^{2}z_{3}=0}$

Za bilo koju tačku P u ravni trougla čije su udaljenosti ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$ i ${\displaystyle t}$ od vrhova ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, i ${\displaystyle C}$, važi

${\displaystyle 3(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4})=(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2})^{2}}$

Za bilo koju tačku ${\displaystyle P}$ upisane kružnice jednakostraničnog trougla, sa udaljenostima ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$ i ${\displaystyle t}$ od vrhova važi

${\displaystyle 4(p^{2}+q^{2}+t^{2})=5a^{2}}$

Konstrukcija

malo

Povučemo pravu Na njoj konstruišemo kružnicu čiji je prečnik jednak 2a. Presječna tačka kružnice i prave je centar druge kružnice prečnika 2a.

Dobijene tačke kao presjek te dvije kružnice i njihov presjek sa pravom su vrhovi trougla

II način

Povučemo pravu i konstruišemo kružnicu prečnika 2a čiji je centar na pravoj. presjek kružnice i prave je tačka koju uzmemo za centar kružnice istog prečnika.

Presjek te dvije kružnice su tačke čija udaljenost iznosi a. Sada lako dobijamo i treću tačku.

Površina

Razmera težišnih duži

Površina se može izračunati standardnom formulom:${\displaystyle P={\frac {a\cdot h}{2}}}$ ali postoje i druge formule koja važe za izračunavanje površine jednakostraničnog trougla:

${\displaystyle P={\frac {a^{2}\cdot {\sqrt[{}]{3}}}{4}}={\frac {h^{2}\cdot {\sqrt[{}]{3}}}{3}}}$

malo

Formulu za površinu

${\displaystyle P={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$ lako možemo izvesti pomoću Pitagorine teoreme itrigonometrije.

Pomoću Pitagorine teoreme

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}ah.}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+h^{2}=a^{2}}$

${\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.}$

${\displaystyle P={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}.}$

Pomoću trigonometrije

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}ab\sin C.}$

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}ab\sin 60^{\circ }.}$

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}ab\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}ab={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$

Visina

Visinu je moguće izračunati pomoću jedne od dve formule:

Prva je uobičajena i povezuje se sa dužinom stranice:

${\displaystyle h={\frac {a\cdot {\sqrt[{}]{3}}}{2}}}$,

a druga je izvedena iz formule za površinu:

${\displaystyle P={\frac {h^{2}\cdot {\sqrt[{}]{3}}}{3}}}$ ⇒ ${\displaystyle h={\sqrt[{}]{\frac {3P}{\sqrt[{}]{3}}}}}$ kada se racionališe i skrati dobija se ${\displaystyle h={\sqrt[{}]{\frac {3P\,{\sqrt[{}]{3}}}{3}}}={\sqrt[{}]{{P}\,{\sqrt[{}]{3}}}}}$.

Zanimljivosti

Arheološko nalazište Lepenski Vir u Srbiji, iz doba neolita, sadrži ostatke staništa koja u svojoj osnovi imaju jednakostranični trougao.

Davidova zvezda, simbol jevrejskog naroda, se sastoji od dva obrnuta jednakostranična trougla. Uz ove trouglove se povezuju i izvesna religiozna značenja.

Mistični simbol Pitagorejaca, tetraktis, je bio oblika jednakostraničnog trougla.

Povezano

• Trougao
• Jednakokraki trougao
• Pravougli trougao

Spoljašnje veze

Jednakostranični trougao na Wikimedijinoj ostavi

• Jednakostranični trougao na mathworld.wolfram.com ()

1. NEW PROOF OF EULER’S INRADIUS - CIRCUMRADIUS INEQUALITY
2. Another Proof of the Erdos-Mordell Theorem Arhivirano 2023-06-16 na Wayback Machine-u
3. Equilateral Triangles and Kiepert Perspectorsin Complex Numbers Arhivirano 2023-06-20 na Wayback Machine-u
4. Non-Euclidean Versions of Some Classical Triangle Inequalities Arhivirano 2023-05-03 na Wayback Machine-u
5. AN ELEMENTARY PROOF OF BLUNDON’S INEQUALITY
6. Primene kompleksnih brojeva u geometriji^{[mrtav link]}

Reference==

1. Odnos poluprečnika upisanog i opisanig kruga