Prava je jedan od osnovnih geometrijskih pojmova. Njena definicija se daje aksiomatski.
- Za ostala značenja, vidi Prava (razvrstavanje).
Nemački naučnik G. Lajbnic je pravu definisao kao liniju koja dijeli ravan na dva kongruentna dijela, međutim pod ovu definiciju potpadaju i druge linije - na primjer, sinusoida i svaka pravilna izlomljena linija čija su svaka dva segmenta na preskok - paralelna.
- kroz bilo koju tačku ravni može se povući beskonačno mnogo pravih
- Svake dvije različite tačke pripadaju jednoj i samo jednoj pravoj.
- Svaka prava sadrzi najmanje dvije zajednicke tačke
- Dvije različite tačke su uvijek kolinearne
- Dvije različite prave ravni mogu se sjeći ili da budu paralelne
- Dvije različite prave prostora mogu se sjeći. biti paralelne ili mimoilazne.
- Prava je algebarska kriva I stepena
Grčki matematičar Euklid u knjizi Elementi dao je definiciju linije
- Linija je dužina bez širine .
- Krajevi linije su tačke.
- Prava linija je ona koja za sve tačke podjednako leži.
Arhimedova aksioma
Od svih linija sa istim krajevima prava linija je najkrača.
Posmatrajmo pravu u Dekartovom koordinantnom sistemu. Pravu možemo definisati kao geometrijsko mjesto tačaka ,gdje Dekartove koordinate zadovoljavaju jednačinu
, gdje parametri a,b,c ne mogu biti istovremeno jednaki nulu.
Posmatrajmo pravu u Dekartovom koordinantnom sistemu. Pravu možemo definisati kao geometrijsko mjesto tačaka, gdje Dekartove koordinate zadovoljavaju jednačinu
, gdje parametri a,b,c ne mogu biti istovremeno jednaki nulu.
Prava se u pravougaonom koordinatnom sistemu može zadati na jedan od tri načina:
Pomoću odsječka b na ordinati i ugla koji gradi prava sa pozitivnim pravcem apscise.
Jednačina prave je gdje je i često se zove opšta jednačina prave. Obično se kod ovakve jednačine m zove koeficijent pravca, a b je odsječak ordinate.
Pomoću odsječaka b i c koje prava odsjeca na koordinatnim osama.
Jednačina prave gdje je se zove segmentska.
Pomoću njenog rastojanja do koordinatnog početka p i ugla koji gradi to rastojanje sa pozitivnom stranom apscise.
Normalna jednačina prave se zove jednačina oblika
Ako je dat skup tačaka
,
- - Proizvoljna tačka prave.
- - vektor koji označava pravac prave. Ako se ove tačke poklapaju imamo nula vektor,
- - parametar.
- Parametarska jednačina
Parametarska jednačina prave glasi:
Ako u ovoj jednačini eliminišemo parametar λ dobijamo kanonsku jednačinu prave
- Tačka i prava u prostoru
Neka su dati tačka M i prava a = A + αv takve da je
.
Za njihov međusobni položaj vrijedi
- Tačka ne pripada pravoj, ako ne postoji α za koje je {P = A + αv}
- Tačka pripada pravoj, ako postoji α za koje je {P = A + αv}
Udaljenost tačke od prave je jednaka dužini udaljenosti između zadane tačke M и njene normalne projekcije M' nа pravu a, tj ovdje je vektor MM' normalan nа vektor prave v.
tj. .
Ako je vrijednost ovog izraza nula dobijamo:
( skalarni proizvod)
U prostoru važi:
vektorski proizvod i intenzitet vektora).
Dvije prave a = A + αv i b = B + βu u mogu da zauzimaju sljedeće položaje, jedna u odnosu na drugu:
- mogu biti identične, ako .
- mogu biti paralelne, ako (
- mogu da se sijeku, ako važi i jednačina A + αv = B + βu ima jednoznačno rješenje po α i β. Tačka presjeka I će u ovom slučaju biti -{I = A + αv = B + βu}
- mogu biti mimoilazne ako važi ali jednačina -{A + αv = B + βu} nema rješenja.
Specijalno u može zameniti sa
Udaljenost dvije pralelelne prave
Udaljenost dvije paralelne prave se određuje kao udaljenost proizvoljne tačke P jedne od dvije prave od njene projekcije P' na drugu pravu.
.
Udaljenost između tačaka A i A' će biti jednako udaljenosti između paralelnih pravi a i b.
Rastojanje dve paralelne prave u R³
U trodimenzionalnom prostoru ovaj postupak je nešto lakši. Ako su dvije prave a i b paralelne, njihovo rastojanje je jednako visini paralelograma koga grade vektori
и
Ona se jednaka količnku površine ovog paralelograma (intenzitet vektorskog proizvoda) i intenziteta vektora v.
Udaljenost dvije mimoilazne prave
Udaljenost dvije mimoilazne prave je i minimalna udaljenost između tačaka koje ih čine. Jedan od načina da se ono nađe je da se predstavi vektor između njih, i zatim nađe za koje parametre pravih će njegova veličina biti minimalna. Neka je ovaj vektor w, i opšte tačke pravih P i Q. Biće
Intenzitet vektora će biti
Kako korijen ne utiče na vrijednost koju parametri α i β imaju pri maksimalnoj vrijednosti izraza, korijen se ovdje može izbaciti. Sljedeći korak biće traženje prvih izvoda izraza
po α i po β. Tako ćemo dobiti sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate, α i β, koji se da riješiti.
Kada se odavde dobijene vrijednosti α i β vratimo u jednačine pravih a i b, respektivno, rezultujuće koordinate će predstavljati tačke, i čija je udaljenost minimalna udaljenost između ove dvije prave.
Udaljenost dvije mimoilazne prave u R³
Specijalno u slučaju je situacija jednostavnija i može se se riješiti preko mješovitog proizvoda.
- ako i samo ako
- a, b, c kolinearne ako i samo ako
- ako i samo ako
- (od a do b u pozitivnom smeru) ako i samo ako