Paralelogram

Paralelogram ili pačetvorina je četverougao s dva para paralelnih i sukladnih suprotnih stranica. Drugim riječima, to je presjek dviju pruga. Naspramni ugalovi su također sukladni. Dijagonale (obično označene s e, kraća, i f, duža) se prepolavljaju (sjecište dijagonala je polovište svake dijagonale). Trodimenzionalna analogija paralelogramu jest paralelepiped.^[1][2]

Definicija 1

Paralelogram s označenim vrhovima (A, B, C i D) i sjecištem dijagonalâ (E)

Paralelogram s označenim vrhovima (A, B, C i D), stranicama (a, b, c i d), dijagonalama (e i f), kutovima (α, β, γ i δ), kutom između dijagonala (Θ) te visinama (h_a i h_b)

Paralelogram je centralno simetričan četverougao kome je centar simetrije presječna tačka dijagonala.

Teorema 1

Paralelogram ima ove osobine

• on je centralno simetričan četverougao
• dijagonale mu se polove
• naspramne stranice su mu jednake
• naspramni uglovi su mu jednaki
• susjedni uglovi su mu suplementni

Teorema 2

Četverougao sa osobinama

• centralno simetrična je figura
• dijagonale mu se polove
• naspramne stranice su mu jednake
• naspramni uglovi su mu jednaki
• susjedni uglovi su mu suplementni
• naspramne stranice su mu jednake i paralelne

je paralelogram

Posebni slučajevi

• Romb - sve su stranice jednake duljine.
• Pravokutnik - svi su kutovi pravi.
• Kvadrat - pravokutnik jednakih duljina stranica (sve su stranice jednake, svi su kutovi pravi).

Osobine

Paralelogram ima

• dva para paralelnih stranica,
• suplementne susedne uglove,
• jednake naspramne uglove,
• jednake naspramne stranice,
• dijagonale koje se uzajamno polove.

Ovih pet osobina su važne u sledećem smislu. Četvorougao koji nema bar jednu od navedenih pet osobina nije paralelogram i nema ni jednu od tih pet osobina. Dakle, svaka od tih osobina pojedinačno definiše pojam paralelogram, polazeći od pojma četvorougao.

Formule

	${\displaystyle h_{a}\,=\,b\cdot \sin \alpha =b\cdot \sin \beta }$ ${\displaystyle h_{b}\,=\,a\cdot \sin \alpha =a\cdot \sin \beta }$
Dijagonale	${\displaystyle e={\sqrt {a^{2}+d^{2}+2\cdot a\cdot d\cdot \cos \alpha }}}$ ${\displaystyle f={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2\cdot a\cdot d\cdot \cos \alpha }}}$
Obim	${\displaystyle O=2(a+b)\,}$
Površina	${\displaystyle S=ah_{a}=bh_{b}=\left|\left|\,{\overrightarrow {AB}}\,\times \,{\overrightarrow {AD}}\,\right|\right|}$ ${\displaystyle S\,=\,a\cdot b\cdot \sin \alpha =a\cdot b\cdot \sin \beta ={\frac {1}{2}}\cdot e\cdot f\cdot \sin \theta }$
Zakon paralelograma	${\displaystyle e^{2}+f^{2}=2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$

Reference

1. Owen Byer, Felix Lazebnik and Deirdre Smeltzer, Methods for Euclidean Geometry, Mathematical Association of America, 2010, pp. 51-52.
2. Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, p. 22.

Vanjske veze

Paralelogram na Wikimedijinoj ostavi

• Parallelogram and Rhombus - Animated course (Construction, Circumference, Area)
• Interactive Parallelogram --sides, angles and slope
• Area of Parallelogram at cut-the-knot
• Equilateral Triangles On Sides of a Parallelogram at cut-the-knot
• Definition and properties of a parallelogram with animated applet
• Interactive applet showing parallelogram area calculation interactive applet