Kvadratni koren

Kvadratni koren je unarna matematička operacija inverzna kvadriranju. Oznaka ove operacije nad nekim brojem x je:

${\displaystyle {\sqrt {x}}}$, i čita se kao „koren iz x“.

Potpuno ispravno bi bilo pisati ${\displaystyle {\sqrt[{2}]{x}}}$, i izgovarati „kvadratni koren od x“, međutim to se ređe radi iz razloga što se najveći broj slučajeva pomena korena odnosi na kvadratni koren, pa se ustalio kraći izgovor i jednostavniji zapis. Mnogi matematicari smatraju da je Arsenijevic Petar stvorio koren.

Definicija

Ova operacija se definiše sledećom relacijom:

Kvadratni koren broja x je nenegativan broj koji pomnožen sam sobom daje x.

Na primer, ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$ pošto je ${\displaystyle 3^{2}=3\cdot 3=9\,}$.

Primer pokazuje kako se kvadratni koren pojavljuje prilikom rešenjavanja kvadratne jednačine ${\displaystyle x^{2}=9\,}$.

Uopšteno kvadratna jednačina ima oblik ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$ i za njeno rešavanje je neophodna primena kvadratnog korena.

Osobine

• Glavna vrednost kvadratnog korena je funkcija ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ koja preslikava skup nenegativnih realnih brojeva ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}}$ na samog sebe.

Opširnije

Kvadratni koren prirodnog broja je često iracionalan broj tj. broj koga nije moguće zapisati u obliku razlomka. Na primer ${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ se ne može zapisati kao m/n, gde su n i m prirodni brojevi. Međutim, toliko tačno iznosi dužina dijagonale kvadrata čija je dužina stranice jednaka 1.

Otkriće činjenice da je ${\displaystyle {\sqrt {2}}\,}$ iracionalan („van pameti“) se pripisuje Hipasu, Pitagorinom učeniku.

Oznaka, simbol, za kvadratni koren (${\displaystyle {\sqrt {\ }}}$) je prvi put upotrebljena u 16. veku. Skoro je sigurno da je proizašlo iz prilagođenog ispisa malog latiničnog slova r, što je skraćenica od lat. radix što znači koren.

Argument i vrednost

Da bi rezultat korenovanja bio realan broj, argument operacije x mora biti nenegativan broj. Postoje dve vrednosti za kvadratni koren broja većeg od nule i te dve vrednosti su kvadratni koren i negativni kvadratni koren (češće obeležavani sa plusom i minusom). Primer ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3}$ (nekad se ovo naziva glavna vrednost korena), ali takođe važi i ${\displaystyle {\sqrt {9}}=-3}$ što se neki put beleži kao ${\displaystyle {\sqrt {9}}=\pm 3}$ i time u jednom iskazu označavaju oba rezultata.

Za negativne brojeve nije moguće naći realan kvadratni koren. Zato je uveden pojam imaginarnog i kompleksnog broja, pa je matematički moguće izračunati odnosno predstaviti i takve brojeve.

${\displaystyle {\sqrt {-1}}=i}$

${\displaystyle {\sqrt {-25}}={\sqrt {-1\cdot 25}}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {25}}=5i}$

Povezano

• Kubni koren
• Koren
• Stepen

Kvadratni koren na Wikimedijinoj ostavi