Электрическая ёмкость

Электри́ческая ёмкость — характеристика проводника, мера его способности аккумулировать электрический заряд. В теории электрических цепей ёмкостью называют взаимную ёмкость между двумя проводниками; параметр ёмкостного элемента электрической схемы (конденсатора), представленного в виде двухполюсника.

Электрическая ёмкость
${\displaystyle C}$
Размерность	L-2M-1T4I2
Единицы измерения
СИ	фарад
СГС	сантиметр

В Международной системе единиц (СИ) ёмкость измеряется в фарадах, общепринятое обозначение ёмкости: ${\displaystyle C}$.

Ёмкость рассчитывается как отношение величины электрического заряда к разности потенциалов между проводником и бесконечностью или между проводниками^[1]

${\displaystyle C={\frac {Q}{\varphi -\varphi _{ref}}}}$,

где ${\displaystyle Q}$ — заряд, ${\displaystyle \varphi }$ — потенциал проводника, ${\displaystyle \varphi _{ref}}$ — потенциал другого проводника или потенциал на бесконечности (как правило, принимаемый за нуль).

Ёмкость зависит от геометрии и формы проводников и электрических свойств окружающей среды (её диэлектрической проницаемости).

Определение. Некоторые формулы

Для одиночного проводника ёмкость равна отношению заряда проводника к его потенциалу в предположении, что все другие проводники бесконечно удалены и что потенциал бесконечно удалённой точки принят равным нулю. В математической форме данное определение имеет вид

${\displaystyle C={\frac {Q}{\varphi }}}$,

где ${\displaystyle Q}$ — заряд, ${\displaystyle \varphi }$ — потенциал проводника. К примеру, ёмкость проводящего шара (или сферы) радиуса ${\displaystyle R}$ равна (в системе СИ):

${\displaystyle C=4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}R,}$

где ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ — электрическая постоянная (8,854⋅10⁻¹² Ф/м), ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ — относительная диэлектрическая проницаемость.

Вывод формулы Известно, что ${\displaystyle \varphi _{1}-\varphi _{2}=\int _{1}^{2}E\,dl\Rightarrow \varphi =\int _{R}^{\mathcal {\infty }}E\,dl={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\int _{R}^{\mathcal {\infty }}{\frac {q}{r^{2}}}\,dr={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{R}}.}$ Так как ${\displaystyle C={\frac {q}{\varphi }}}$, то подставив сюда найденный ${\displaystyle \varphi }$, получим, что ${\displaystyle C=4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}R}$.

Для системы из двух проводников, разделённых диэлектриком или вакуумом и обладающих равными по числу, но противоположными по знаку зарядами ${\displaystyle \pm Q}$, ёмкость (взаимная ёмкость) определяется как отношение величины заряда к разности потенциалов проводников. Если принять потенциал одного из проводников за нуль, формула ${\displaystyle C=Q/\varphi }$ останется в силе и для этого случая.

Дискретный элемент электрической цепи на базе вышеописанной системы, обладающий значительной ёмкостью, называется конденсатором. Два проводника при этом именуются обкладками. Для плоского конденсатора ёмкость равна:

${\displaystyle C=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}{\frac {S}{d}}}$,

где ${\displaystyle S}$ — площадь обкладки (подразумевается, что обкладки одинаковы), ${\displaystyle d}$ — расстояние между обкладками.

Электрическая энергия, запасённая конденсатором, составляет

${\displaystyle W={\frac {CU^{2}}{2}}}$,

где ${\displaystyle U}$ — напряжение между обкладками.

Обозначение и единицы измерения

Ёмкость принято обозначать большой латинской буквой ${\displaystyle C}$ (от лат. capacitas — ёмкость, вместимость).

В системе единиц СИ ёмкость выражается в фарадах^[2], сокращённо «Ф». Проводник обладает ёмкостью в один фарад, если при величине потенциала его поверхности один вольт этот проводник несёт заряд в один кулон. Один фарад — очень большая ёмкость, реальные проводники обладают ёмкостью порядка нано- или микрофарад. «Фарад» назван в честь английского физика Майкла Фарадея.

Единицей измерения ёмкости в системе СГС является сантиметр. Соотношение: 1 см ёмкости ≈ 1,1126 пФ; 1 Ф = 8,988×10¹¹ см ёмкости.

Свойства ёмкости

• Ёмкость всегда положительна^[3], за исключением случаев некоторых структур с сегнетоэлектриками.
• Ёмкость зависит только от геометрических размеров проводника и диэлектрических свойств среды (для конденсатора — заполняющего его материала изолятора).
• Ёмкость опосредованно зависит от температуры и частоты сигнала (через зависимость проницаемости среды ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ от соответствующих величин).
• В случае среды с постоянными значениями ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ ёмкость является константой, но в случае нелинейной среды, когда ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ зависит от напряжённости электрического поля, ёмкость будет изменяться с напряжением.
• Применительно к цепи синусоидального тока с частотой ${\displaystyle \omega }$, элементу «ёмкость» может быть приписано реактивное сопротивление ${\displaystyle X_{C}=\omega ^{-1}C^{-1}}$.
• Напряжение на ёмкости не может изменяться скачком^[4].

Дифференциальная ёмкость

Дифференциальной (малосигнальной) ёмкостью называется производная от заряда проводника по потенциалу

${\displaystyle C_{diff}={\frac {dQ}{d\varphi }}\approx {\frac {\Delta Q}{\Delta \varphi }}}$,

которая определяется для выбранных условий ${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}}$. Эта величина характеризует реакцию проводника на малое изменение потенциала. Если зависимость заряда от потенциала линейна, то ${\displaystyle C_{diff}=C}$, но на практике встречаются и более сложные случаи.

Широкое распространение получили измерения так называемых вольт-фарадных характеристик структур металл-диэлектрик-полупроводник — зависимостей ${\displaystyle C_{diff}(\varphi )}$ при разных частотах ${\displaystyle \omega }$ изменения потенциала со временем ${\displaystyle t}$ по закону ${\displaystyle \varphi =\varphi _{0}+\Delta \varphi \,\sin(\omega t)}$. Такие измерения дают ценную информацию о качестве диэлектрика.

Электрическая ёмкость некоторых систем

Вычисление электрической ёмкости системы требует решение Уравнения Лапласа ∇²φ = 0 с постоянным потенциалом φ на поверхности проводников. Это тривиально в случаях с высокой симметрией. Нет никакого решения в терминах элементарных функций в более сложных случаях.

В квазидвумерных случаях аналитические функции отображают одну ситуацию на другую, электрическая ёмкость не изменяется при таких отображениях. См. также Отображение Шварца — Кристоффеля.

Электрическая ёмкость простых систем (СГС)

Вид	Ёмкость	Комментарий
Плоский конденсатор	${\displaystyle {\frac {\varepsilon S}{4\pi d}}}$	S: Площадь d: Расстояние
Два коаксиальных цилиндра	${\displaystyle {\frac {\varepsilon l}{\log \left(R_{2}/R_{1}\right)}}}$	l : Длина R1: Радиус R${\displaystyle _{2}}$: Радиус
Две параллельные проволоки[5]	${\displaystyle {\frac {\varepsilon l}{4\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{2a}}\right)}}={\frac {\varepsilon l}{2\log \left({\frac {d}{2a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)}}}$	a: Радиус d: Расстояние, d > 2a
Проволока параллельна стене[5]	${\displaystyle {\frac {\varepsilon l}{2\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{a}}\right)}}={\frac {\varepsilon l}{4\log \left({\frac {d}{a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{a^{2}}}-1}}\right)}}}$	a: Радиус d: Расстояние, d > a l: Длина
Две параллельные копланарные полосы[6]	${\displaystyle \varepsilon l{\frac {K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{4\pi K\left(k\right)}}}$	d: Расстояние w1, w${\displaystyle _{2}}$: Ширина полос km: d/(2wm+d) k2: k1k2 K: Эллиптический интеграл l: Длина
Два концентрических шара	${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}}}}$	R1: Радиус R2: Радиус
Два шара одинакового радиуса[7][8]	${\displaystyle {\frac {\varepsilon a}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\log \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\log \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}}$ ${\displaystyle {\frac {\varepsilon a}{2}}\left\{1+{\frac {1}{2D}}+{\frac {1}{4D^{2}}}+{\frac {1}{8D^{3}}}+{\frac {1}{8D^{4}}}+{\frac {3}{32D^{5}}}+O\left({\frac {1}{D^{6}}}\right)\right\}}$ ${\displaystyle ={\frac {\varepsilon a}{2}}\left\{\log 2+\gamma -{\frac {1}{2}}\log \left({\frac {d}{a}}-2\right)+O\left({\frac {d}{a}}-2\right)\right\}}$	a : Радиус d: Расстояние, d > 2a D = d/2a γ: Постоянная Эйлера
Шар вблизи стены[7]	${\displaystyle \varepsilon a\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\ln \left(2D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\ln \left(2D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}}$	a: Радиус d: Расстояние, d > a D = d/a
Шар	${\displaystyle \varepsilon a}$	a: Радиус
Круглый диск[9]	${\displaystyle {\frac {2\varepsilon a}{\pi }}}$	a : Радиус
Тонкая прямая проволока, ограниченная длина[10][11][12]	${\displaystyle {\frac {\varepsilon l}{2\Lambda }}\left\{1+{\frac {1}{\Lambda }}\left(1-\ln 2\right)+{\frac {1}{\Lambda ^{2}}}\left[1+\left(1-\ln 2\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right]+O\left({\frac {1}{\Lambda ^{3}}}\right)\right\}}$	a: Радиус проволоки l: Длина Λ: ln(l/a)

Эластанс

Величина обратная ёмкости называется эластанс (эластичность). Единицей эластичности является дараф (daraf), но он не определён в системе физических единиц измерений СИ^[13].

См. также

• Квантовая ёмкость

Примечания

1. Шакирзянов Н. Ёмкость электрическая // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2. — С. 28—29. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.
2. «Электроёмкость» — статья в Малой советской энциклопедии; 2 издание; 1937—1947 гг.
3. Здесь имеется в виду настоящая ёмкость; в электронике можно создать искусственно элементы, зависимость ${\displaystyle Q(\varphi )}$ в которых будет убывающей — такие элементы можно условно назвать (по их поведению в электрической цепи) элементами с отрицательной ёмкостью, однако они не имеют отношения к предмету данной статьи.
4. См., напр. в книге: О. И. Клюшников, А. В. Степанов. Теоретические основы электротехники Архивная копия от 10 марта 2022 на Wayback Machine, РГППУ, Екатеринбург, 2010 — стр. 9.
5. Jackson, J. D. Classical Electrodynamics (неопр.). — Wiley, 1975. — С. 80.
6. Binns; Lawrenson. Analysis and computation of electric and magnetic field problems (англ.). — Pergamon Press^[англ.], 1973. — ISBN 978-0-08-016638-4.
7. Maxwell, J. C. A Treatise on Electricity and Magnetism (неопр.). — Dover, 1873. — С. 266 ff. — ISBN 0-486-60637-6.
8. Rawlins, A. D. Note on the Capacitance of Two Closely Separated Spheres (англ.) // IMA Journal of Applied Mathematics^[англ.] : journal. — 1985. — Vol. 34, no. 1. — P. 119—120. — doi:10.1093/imamat/34.1.119.
9. Jackson, J. D. Classical Electrodynamics (неопр.). — Wiley, 1975. — С. 128, problem 3.3.
10. Maxwell, J. C. On the electrical capacity of a long narrow cylinder and of a disk of sensible thickness (англ.) // Proc. London Math. Soc. : journal. — 1878. — Vol. IX. — P. 94—101. — doi:10.1112/plms/s1-9.1.94.
11. Vainshtein, L. A. Static boundary problems for a hollow cylinder of finite length. III Approximate formulas (англ.) // Zh. Tekh. Fiz. : journal. — 1962. — Vol. 32. — P. 1165—1173.
12. Jackson, J. D. Charge density on thin straight wire, revisited (неопр.) // Am. J. Phys. — 2000. — Т. 68, № 9. — С. 789—799. — doi:10.1119/1.1302908. — Bibcode: 2000AmJPh..68..789J.
13. Тензорный анализ сетей, 1978, с. 509.

Литература

• Боргман И. И. Электроёмкость // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Савельев И.В. Глава X. Движение заряженных частиц. // Курс общей физики. — 3. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — Т. 2. — С. 87—88. — 496 с. — 220 000 экз.
• Г. Крон. Тензорный анализ сетей. — Москва: Сов. радио, 1978. — 720 с.