Loading AI tools
иррациональное число, обладающее определёнными характеристиками рациональных чисел Из Википедии, свободной энциклопедии
Шизофреническое число (англ. Schizophrenic number, также известно как «ложное рациональное число» (англ. mock rational number)) — иррациональное число, обладающее определёнными характеристиками рациональных чисел.
Определение шизофренических чисел приведено британским астрономом и популяризатором науки Дэвидом Дарлингом[англ.] в его Универсальной книге математики[англ.]:
Неофициальное название для иррационального числа, которое в виде десятичной дроби имеет в дробной части повторяющиеся последовательности цифр, придающие ему сходство с рациональным числом. Шизофреническое число можно получить следующим образом. Для любого натурального числа n пусть f (n) обозначает целое число, заданное рекуррентной формулой f (n) = 10 f (n — 1) + n с начальным значением f (0) = 0. Таким образом, f (1) = 1 , f (2) = 12, f (3) = 123 и т. д. В этом случае квадратные корни f (n) для нечётных целых чисел n будут иметь значения, сначала содержащие периодические последовательности цифр, характерные для рациональных чисел, но затем переходящие в иррациональные. Например, последовательность из первых 500 цифр √f (49) выглядит так:
- 1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0860
- 555555555555555555555555555555555555555555555 2730541
- 66666666666666666666666666666666666666666 0296260347
- 2222222222222222222222222222222222222 0426563940928819
- 4444444444444444444444444444444 38775551250401171874
- 9999999999999999999999999999 808249687711486305338541
- 66666666666666666666666 5987185738621440638655598958
- 33333333333333333333 0843460407627608206940277099609374
- 99999999999999 0642227587555983066639430321587456597
- 222222222 1863492016791180833081844 ...
Видно, что повторяющиеся последовательности цифр становятся всё короче, а длина «неупорядоченных» последовательностей цифр увеличивается до тех пор, пока повторяющиеся последовательности не исчезают вообще. При этом, увеличивая n, можно «задавать» появление повторяющихся последовательностей цифр сколь угодно долго. В последовательности всегда фигурируют цифры 1, 5, 6, 2, 4, 9, 6, 3, 9, 2, ….
- 1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0860
- 555555555555555555555555555555555555555555555 2730541
- 66666666666666666666666666666666666666666 0296260347
- 2222222222222222222222222222222222222 0426563940928819
- 4444444444444444444444444444444 38775551250401171874
- 9999999999999999999999999999 808249687711486305338541
- 66666666666666666666666 5987185738621440638655598958
- 33333333333333333333 0843460407627608206940277099609374
- 99999999999999 0642227587555983066639430321587456597
- 222222222 1863492016791180833081844 ...
Последовательность чисел, порождённых рекуррентной формулой f (n) = 10 f (n — 1) + n, описанной выше, выглядит так:
0, 1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 1234567900, … (последовательность A014824 в OEIS).
Целые части их квадратных корней — соответственно:
0, 1, 3, 11, 35, 111, 351, 1111, 3513, 11111, 35136, 111111, 351364, 1111111, … (последовательность A068995 в OEIS), содержат как числа с повторяющимися последовательностями цифр, так и числа с «неупорядоченным» набором цифр, аналогично чередованию цифр в дробных частях значений квадратных корней.
По оценке американского писателя и популяризатора науки Клиффорда Пиковера[англ.], шизофренические числа были обнаружены Кевином Брауном.
В своей книге «Чудеса чисел» Пиковер так описал историю шизофренических чисел[2]:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.