Четырёхугольник Саккери — четырёхугольник с двумя равными боковыми сторонами, перпендикулярными основанию. Назван в честь Джироламо Саккери, который использовал его в своей книге «Евклид, очищенный от всех пятен» (Euclides ab omni naevo vindicatus, впервые опубликована в 1733 году). Саккери в этой работе попытался доказать пятый постулат, используя метод «от противного».
Ранее, в конце XI века, четырёхугольник Саккери был также рассмотрен Омаром Хайямом[1].
В четырёхугольнике Саккери стороны и равны по длине и перпендикулярны к основанию . Углы при и называются верхними углами, два остальных угла — нижними.
Полезное свойство четырёхугольника Саккери заключается в том, что тип содержащей его плоскости однозначно определяется ответом на всего лишь один вопрос:
- Являются ли верхние углы прямыми, тупыми или острыми?
Оказывается, когда верхние углы прямые, на плоскости выполняется пятый постулат, когда они острые, плоскость гиперболическая, а когда тупые, плоскость эллиптическая (при условии внесения некоторых дополнительных изменений в постулаты[2]).
Саккери надеялся, что случаи тупых и острых углов приводят к противоречию с аксиомами Евклида. Он показал это в случае тупых углов, и, как ему казалось, в случае острых тоже (что было заведомо неверно)[3].
История
Четырёхугольник Саккери был впервые рассмотрен Омаром Хайямом в конце XI века[1]. В отличие от многих до и после него, Хайям не пытался доказать пятый постулат как таковой, он опирался на эквивалентный постулат из «принципов философа» (Аристотель):
- Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые линии стали расходиться в направлении, в котором они ранее сходились[4].
Хайям рассмотрел все три возможности для верхних углов четырёхугольника Саккери и доказал ряд теорем. Он (правильно) опроверг тупые и острые случаи на основании его постулата и вывел отсюда классический постулат Евклида.
600 лет спустя Джордано Витале[англ.] использовал четырёхугольник Саккери в доказательстве того, что если три точки находятся на равном расстоянии от основания и верхней стороны , то и всюду лежат на одинаковом расстоянии.
Сам Саккери в своём длинном доказательстве постулата предположил, что верхние углы острые, после чего, сам того не подозревая, вывел отсюда много теорем геометрии Лобачевского. В конце книги он совершил ошибку и пришёл к мнимому противоречию, откуда заключил, что сумел доказать пятый постулат.
Свойства
Пусть — четырёхугольник Саккери с основанием . Следующие свойства верны в любой гиперболической геометрии[5]:
- Верхние углы ( и ) равны и являются острыми.
- Верхняя сторона длиннее основания.
- Отрезок, соединяющий середину основания и середину верхней стороны, перпендикулярен основанию и верхней стороне.
- Также этот отрезок делит четырёхугольник на два четырёхугольника Ламберта.
- Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, не перпендикулярен ни одной из сторон.
Формула
В гиперболической плоскости постоянной кривизны верхняя сторона в четырехугольнике Саккери может быть выражена через боковую сторону и основание с помощью формулы
Примеры
Гиперболическая плоскость допускает замощения некоторыми четырёхугольниками Саккери:
Симметрия *3322 |
Симметрия *∞∞22 |
См. также
- Четырёхугольник Ламберта — вариация четырёхугольника Саккери с тремя прямыми углами.
Примечания
Литература
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.