Целый элемент

Целый элемент — элемент заданного коммутативного кольца с единицей ${\displaystyle B}$ относительно подкольца ${\displaystyle A\subset B}$, являющийся корнем приведённого многочлена с коэффициентами в ${\displaystyle A}$, то есть такой ${\displaystyle b}$, для которого существуют коэффициенты ${\displaystyle a_{j}\in A}$, такие что:

${\displaystyle b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}=0}$.

Связанные определения

• Если каждый элемент ${\displaystyle B}$ является целым над ${\displaystyle A}$, кольцо ${\displaystyle B}$ называется целым расширением ${\displaystyle B}$ (или просто кольцом, целым над ${\displaystyle A}$).

• Если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — поля, терминам «цел над…» и «целое расширение» соответствуют термины «алгебраичен над…» и «алгебраическое расширение».
  • Частный случай, особенно важный в теории чисел, — комплексные числа, являющиеся целыми над ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, называемые целыми алгебраическими числами.

• Множество всех элементов ${\displaystyle B}$, целых над ${\displaystyle A}$, образует кольцо; оно называется целым замыканием ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$.
  • Целое замыкание ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ в некотором конечном расширении ${\displaystyle k}$ поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ называется кольцом целых поля ${\displaystyle k}$, этот объект является фундаментальным для алгебраической теории чисел.

• Целые числа — единственные элементы ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, являющиеся целыми над ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (что может служить объяснением использования термина «целый»). Гауссовы целые числа, как элементы поля комплексных чисел, являются целыми над ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Целое замыкание ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ в круговом поле ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta )}$ — это ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta ]}$.

Свойства

Целость является транзитивным отношением: если кольцо ${\displaystyle C}$ цело над ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle B}$ цело над ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle C}$ цело над ${\displaystyle A}$.

Есть ряд утверждений, эквивалентных тому, что элемент ${\displaystyle b}$ кольца ${\displaystyle B}$ цел над ${\displaystyle A}$:

• подкольцо ${\displaystyle A[b]}$ кольца ${\displaystyle B}$ является конечнопорожденным ${\displaystyle A}$-модулем;
• существует подкольцо ${\displaystyle C}$ кольца ${\displaystyle B}$, содержащее ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle b}$, и являющееся конечнопорожденным ${\displaystyle A}$-модулем;
• существует конечнопорожденный ${\displaystyle A}$-модуль ${\displaystyle M}$ кольца ${\displaystyle B}$, такой что ${\displaystyle bM\subset M}$ и из ${\displaystyle b'M=0}$ следует, что ${\displaystyle b=0}$.

Из третьего свойства легко вывести, что множество всех элементов, целых над ${\displaystyle A}$, является подкольцом ${\displaystyle B}$ (замкнуто относительно сложения и умножения), оно называется целым замыканием ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$. Если целое замыкание совпадает с самим кольцом ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A}$ называется целозамкнутым в ${\displaystyle B}$. Также из него следует, что если ${\displaystyle B}$ цело над ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle B}$ является объединением (или, эквивалентно, прямым пределом) подколец, являющихся конечнопорождёнными ${\displaystyle A}$-модулями.

Теорема Коэна — Зайденберга о подъёме: если ${\displaystyle S}$ — целое расширение кольца ${\displaystyle R}$, то для всякого простого идеала ${\displaystyle I}$ в ${\displaystyle S}$ существует простой идеал ${\displaystyle J}$ в ${\displaystyle R}$, что ${\displaystyle I\cap R=J}$.

Если ${\displaystyle {\overline {k}}}$ — алгебраическое замыкание поля ${\displaystyle k}$, то ${\displaystyle {\overline {k}}[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ цело над ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$. Если конечная группа ${\displaystyle G}$ действует на кольце ${\displaystyle A}$ гомоморфизмами колец, то ${\displaystyle A}$ является целым над множеством элементов, являющихся неподвижными точками действия группы.

Целозамкнутое кольцо

Целозамкнутое кольцо — целостное кольцо, целозамкнутое➤ в своём поле частных.

Если ${\displaystyle A}$ — целозамкнутое кольцо с полем частных ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle L}$ — конечное расширение ${\displaystyle K}$, то элемент ${\displaystyle L}$ цел над ${\displaystyle A}$ тогда и только тогда, когда коэффициенты его минимального многочлена принадлежат ${\displaystyle A}$: это более сильное условие, чем просто целость, для которой достаточно существование произвольного многочлена с таким свойством. Любое факториальное кольцо является целозамкнутым.

Если ${\displaystyle A}$ — нётерово целостное кольцо, то ${\displaystyle A}$ целозамкнуто в том и только в том случае, когда (1) ${\displaystyle A}$ совпадает с пересечением всех локализаций ${\displaystyle A}$ по простому идеалу и (2) локализация ${\displaystyle A}$ по простому идеалу высоты 1 (то есть не содержащему других ненулевых простых идеалов) — дедекиндово кольцо. Также нётерово кольцо целозамкнуто тогда и только тогда, когда оно является кольцом Крулля.

Нормальное кольцо

Серр и Гротендик определяют нормальное кольцо как кольцо, локализация которого по любому простому идеалу целозамкнута. В таком кольце нет ненулевых нильпотентов^[1]. Если ${\displaystyle A}$ — нётерово кольцо, локализации которого по максимальным идеалам целостны, то ${\displaystyle A}$ — конечное произведение целостных колец. В данном случае, если ${\displaystyle A}$ — нётерово нормальное кольцо, то области в произведении целозамкнуты^[2]. Обратно, прямое произведение целозамкнутых колец нормально.

Вполне целозамкнутое кольцо

Элемент ${\displaystyle x}$ поля частных ${\displaystyle K}$ целостного кольца ${\displaystyle A}$ называется почти целым над ${\displaystyle A}$, если существует такой ${\displaystyle d\in A}$, что ${\displaystyle dx^{n}\in A}$ для любого натурального ${\displaystyle n}$. Кольцо ${\displaystyle A}$ называется вполне целозамкнутым, если любой почти целый над ним элемент содержится в ${\displaystyle A}$. Вполне целозамкнутые кольца целозамкнуты. Обратно, нётеровы целозамкнутые кольца вполне целозамкнуты.

Кольцо формальных степенных рядов над вполне целозамкнутым кольцом вполне целозамкнуто, тогда как для произвольных целозамкнутых колец это неверно.

Локальность свойства целозамкнутости

Следующие условия для целостного кольца ${\displaystyle A}$ эквивалентны:

• ${\displaystyle A}$ целозамкнуто;
• локализация ${\displaystyle A}$ по любому простому идеалу целозамкнута;
• локализация ${\displaystyle A}$ по любому максимальному идеалу целозамкнута.

Такие свойства кольца ${\displaystyle A}$ называют локальными свойствами.

Примечания

1. Если локализации коммутативного кольца ${\displaystyle R}$ по всем максимальным идеалам не содержат нильпотентов (например, целостны), то и ${\displaystyle R}$ их не содержит. Действительно, если ${\displaystyle x}$ — ненулевой элемент ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle x}$ⁿ=0, то ${\displaystyle \mathrm {Ann} (x)}$) (элементы, умножение на которые обнуляет ${\displaystyle x}$) содержится в некотором максимальном идеале ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. Образ ${\displaystyle x}$ в локализации по ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ — ненулевой, так как в противном случае ${\displaystyle xs=0}$ для некоторого ${\displaystyle s\not \in {\mathfrak {m}}}$, противоречие. Следовательно, локализация ${\displaystyle R}$ по ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ содержит ненулевой нильпотент.
2. Matsumura 1989, p. 64

Литература

• Bourbaki, Commutative algebra.
• Kaplansky, Irving. Commutative Rings (неопр.). — University of Chicago Press, 1974. — (Lectures in Mathematics). — ISBN 0-226-42454-5.
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6.