Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Фу́нкция Хевиса́йда (едини́чная ступе́нчатая функция, функция едини́чного скачка, включённая едини́ца, «ступенька») — кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных[1]. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям , например:
Функцию Хевисайда легко записать, используя скобку Айверсона:
Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется, например, для записи эмпирической функции распределения. Названа в честь Оливера Хевисайда.
Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака, , это также можно записать как (определённый интеграл является числом, для описания первообразной используется неопределённый интеграл [2]):
Можно определить дискретную функцию Хевисайда как функцию от целого аргумента :
где — целое число.
Дискретный единичный импульс является первой разностью дискретной функции Хевисайда:
Для более удобного использования функцию Хевисайда можно аппроксимировать с помощью непрерывной функции:
где большему соответствует более крутой подъём функции в точке . Задавшись необходимой шириной области перехода функции Хевисайда , значение можно оценить как .
Если принять , уравнение можно записать в предельной форме:
Существует несколько других аппроксимаций непрерывными функциями:
Часто используется и бывает полезной интегральная форма записи единичной функции:
Значение функции в нуле часто задаётся как , или . — наиболее употребительный вариант, поскольку по соображениям симметрии в точке разрыва первого рода удобно доопределять функцию средним арифметическим соответствующих односторонних пределов, кроме того в этом случае функция Хевисайда связана с функцией знака:
что с учетом определения функции знака можно выразить как
Значение в нуле может явно указываться в записи функции:
Производная функции Хевисайда равна дельта-функции (то есть функция Хевисайда — первообразная дельта-функции):
Следовательно, применив преобразование Фурье к первообразной дельта-функции , получим её изображение вида:
то есть:
(второй член — соответствующий нулевой частоте в разложении — описывает постоянное смещение функции Хевисайда вверх; без него получилась бы нечётная функция).
Так как производной функции Хевисайда является дельта-функция Дирака, для которой известно, что , то существует формула для производной произведения ступенчатой функции с произвольной .
По индукции, пусть для выполнено:
Так, для единицы:
Шаг индукции:
Поскольку выражения — константы, дифференцируется лишь дельта-функция. Последнее слагаемое запишется, как
Группируя полученные слагаемые в общую сумму:
Таким образом, согласно принципу индукции, утверждение доказано для любого .[3]
Эта функция использовалась ещё до появления её удобного обозначения. Например, Гульельмо Либри[англ.] в 1830-х годах опубликовал несколько работ[4][5], посвящённых функции . По его мнению, равен , если ; , если (см. Ноль в нулевой степени); или , если . Таким образом Либри заключает, что равняется 1, если , и 0 в противном случае. Пользуясь нотацией Айверсона, это можно было бы записать, как
Однако такой нотации в то время не было, и Либри считал достижением, что эту функцию можно выразить через стандартные математические операции. Он использовал эту функцию для выражения абсолютной величины (обозначения тогда ещё не было, оно было введено позже Вейерштрассом) и индикатора таких условий, как , и даже « является делителем »[6].
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.