Кардинальный синус

Кардина́льный си́нус, sinc (от лат. sinus cardinalis) — математическая функция. Обозначается sinc(x). Имеет два определения — для нормированной и ненормированной функции sinc соответственно:

1. В цифровой обработке сигналов и теории связи нормированная функция sinc обычно определяется как

   ${\displaystyle \operatorname {sinc} \left(x\right)=\left\{{\begin{array}{*{35}l}{\frac {\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}}&;&x\neq 0\\1&;&x=0\\\end{array}}\right.}$

2. В математике ненормированная функция sinc определяется как

   ${\displaystyle \operatorname {sinc} \left(x\right)=\left\{{\begin{array}{*{35}l}{\frac {\sin \left(x\right)}{x}}&;&x\neq 0\\1&;&x=0\\\end{array}}\right.}$

Графики нормированной и ненормированной функций sinc(x) в диапазоне −7π ≤ x ≤ 7π.

Нормировка функции выполняется из условия:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin ax}{ax}}\,dx=1}$

откуда ${\displaystyle a=\pi .}$

для ненормированной функции (${\displaystyle a=1}$):

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\pi .}$

В обоих случаях значение функции в особой точке x = 0 явным образом задаётся равным единице (см. Замечательные пределы). Таким образом, функция sinc аналитична для любого значения аргумента.

Свойства

Нормированная функция sinc обладает следующими свойствами:

• ${\displaystyle \operatorname {sinc} \left(0\right)=1}$ и ${\displaystyle \operatorname {sinc} \left(k\right)=0}$ для всех ${\displaystyle k\neq 0}$ и ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ (целые числа); то есть это интерполянт.

• функции ${\displaystyle x_{k}\left(t\right)=\operatorname {sinc} \left(t-k\right)}$ формируют ортонормированный базис для функций в функциональном пространстве ${\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$, с наибольшей круговой частотой ${\displaystyle \omega _{H}=\pi }$.

• Локальные максимум и минимум ненормированной функции sinc находятся в точках, где значения функции sinc совпадают со значениями косинусоиды (точках пересечения графиков sinc и cos) - условие равенства нулю производной ${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$ (локальный экстремум в точке ${\displaystyle x=a}$) выполняется при условии ${\displaystyle {\frac {\sin a}{a}}=\cos a}$.

• Ненормированная функция sinc обращается в ноль при значениях аргумента, кратных π, а нормированная функция sinc — при целых значениях аргумента.

• Интегральный синус определяется через интеграл от функции sinc(x).

• Непрерывное преобразование Фурье нормированной функции ${\displaystyle \operatorname {sinc} \left(x\right)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}}$ (для единичного интервала частот) равно прямоугольной функции ${\displaystyle \operatorname {rect} \left(f\right)}$.

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} \left(t\right)\,e^{-2\pi ift}dt=\operatorname {rect} \left(f\right)}$,

где прямоугольная функция — функция, принимающая значение 1 для любого аргумента из интервала между −½ и ½, и равная нулю при любом другом значении аргумента.

• Разложение в бесконечное произведение:

${\displaystyle \operatorname {sinc} \left(x\right)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)}$

• Выражение через гамма-функцию:

${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma \left(1+x\right)\Gamma \left(1-x\right)}}}$

где ${\displaystyle \Gamma \left(x\right)}$ — гамма-функция.

Использование и приложения

• Как преобразование Фурье прямоугольной функции sinc-функция возникает в задаче распространения волн из ближнего поля в дальнее поле (дифракция Фраунгофера, дифракция на щели). sinc-функция встречается в теории антенн, радаров, в акустике и т. д.
• Э. Т. Уиттекер показал, что sinc-функция играет центральную роль в теории интерполяции на сетке эквидистантных точек.
• В теории связи sinc-функция часто позволяет восстановить аналоговый сигнал по его отсчётам однозначно и без потерь (теорема Котельникова).
• Та же идея лежит в основе фильтра Ланцоша, применяемого, в частности, для передискретизации сигналов.
• Часто стремятся снизить влияние вторичных максимумов модуля, которые приводят к нежелательным боковым лепесткам диаграммы направленности.
• Часто используется квадрат sinc-функции, дающий интенсивность или мощность сигнала, амплитуда которого описывается sinc-функцией.
• Так как значения быстро уменьшаются с ростом аргумента, квадрат sinc-функции часто представляют в логарифмическом масштабе.

Обработка сигналов

sinc-фильтр — идеальный электронный фильтр, который подавляет все частоты в спектре сигнала выше некоторой частоты среза, оставляя все частоты ниже этой частоты неизменными. В частотной области (АЧХ) представляет собой прямоугольную функцию, а во временно́й области (импульсная характеристика) — sinc-функцию.

См. также

• Сглаживание
• sinc-фильтр
• Атомарная функция
• Интегральный синус