Кривая постоянной ширины

Крива́я постоя́нной ширины́ ${\displaystyle w}$ — плоская выпуклая кривая, длина ортогональной проекции (диаметр Фере) которой на любую прямую равна ${\displaystyle w}$.

Треугольник Рёло — кривая постоянной ширины. Стороны квадрата — опорные прямые: каждая сторона касается треугольника, но не пересекает его. Треугольник Рёло можно вращать, и при этом он всегда будет касаться каждой стороны квадрата; таким образом ширина треугольника (расстояние между двумя опорными прямыми) постоянна

Иными словами, кривой постоянной ширины называется плоская выпуклая кривая, расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми которой постоянно и равно ${\displaystyle w}$ — ширине кривой.

Связанные определения

• Фигурой постоянной ширины называется фигура, граница которой является кривой постоянной ширины.

Примеры

Многоугольники Рёло

Гладкая кривая постоянной ширины, построенная на базе треугольника и составленная из фрагментов шести сопряжённых окружностей. Ширина w = a + b − c +2y, где a, b, c – стороны треугольника (a, b > c, y > 0)

Фигурами постоянной ширины, в частности, являются круг и многоугольники Рёло (частный случай последних — треугольник Рёло). Многоугольники Рёло составлены из фрагментов окружностей и не являются гладкими кривыми. Из сопряжённых фрагментов окружностей можно построить и гладкую кривую постоянной ширины (рисунок справа), но дальнейшее увеличение гладкости кривой на этом пути невозможно.

Функциональное представление

В отличие от приведенных выше простейших примеров, кривые постоянной ширины могут не совпадать с окружностью ни на каком конечном отрезке и быть везде сколь угодно гладкими. В общем виде фигура постоянной ширины ${\displaystyle w}$ c опорной функцией ${\displaystyle p(t)}$ задаётся параметрическими уравнениями^[1]

${\displaystyle x=p(t)\cos t-p'(t)\sin t,}$

${\displaystyle y=p(t)\sin t+p'(t)\cos t,}$

при условиях:

1. ${\displaystyle w=p(t)+p(t+\pi ),}$
2. полученная кривая является выпуклой.

Согласно элементарной тригонометрии, первому условию удовлетворяет ряд Фурье следующего вида:

${\displaystyle p(t)={\frac {w}{2}}+\sum \limits _{k=2}^{+\infty }a_{k}\cos \left((2k-1)t+\theta _{k}\right)}$^[2].

Если коэффициенты ряда убывают достаточно быстро, то результирующая кривая будет выпуклой (без самопересечений).

В частности, опорная функция ${\displaystyle p(t)=9+\cos(3t)}$ порождает кривую постоянной ширины, для которой найдено неявное представление в виде уравнения для полинома 8-й степени^[3]

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{4}-45(x^{2}+y^{2})^{3}-41283(x^{2}+y^{2})^{2}+7950960(x^{2}+y^{2})+16(x^{2}-3y^{2})^{3}}$

${\displaystyle +48(x^{2}+y^{2})(x^{2}-3y^{2})^{2}+(x^{2}-3y^{2})x[16(x^{2}+y^{2})^{2}-5544(x^{2}+y^{2})+266382]-720^{3}=0.}$

Эта кривая в окрестности любой точки является аналитической функцией либо от x, либо от y и ни в какой окрестности не совпадает с окружностью.

Свойства

• У кривой постоянной ширины ${\displaystyle w}$ длина равна ${\displaystyle \pi w}$ (теорема Барбье).
• Центры вписанной и описанной окружностей кривой постоянной ширины совпадают, а сумма их радиусов равна ширине ${\displaystyle w}$ кривой.
• Фигура постоянной ширины ${\displaystyle w}$ может вращаться в квадрате со стороной ${\displaystyle w}$, всё время касаясь каждой из сторон.
• Среди всех фигур данной постоянной ширины треугольник Рёло имеет наименьшую площадь, а круг — наибольшую.
• Любую плоскую фигуру диаметра ${\displaystyle w}$ можно накрыть фигурой постоянной ширины ${\displaystyle w}$.

Применения

• Сверло, сделанное на основе треугольника Рёло, позволяет^[4] сверлить почти квадратные отверстия (с неточностью примерно в 2 % от площади квадрата).
• Некоторые монеты имеют форму правильного многоугольника постоянной ширины. Так, на семиугольнике построены монеты достоинством 20^[5] и 50 пенсов (Великобритания); 50 филсов (ОАЭ); 1 доллар (Барбадос); некоторые монеты Ботсваны^[6] номиналом в 5 и 25 тхебе, 1 и 2 пулы. Форму 11-угольника постоянной ширины имеют канадские монеты номиналом в 1 доллар (известные как «луни»).
• Двигатель Ванкеля использует^[5] в качестве поршня вращающийся внутри камеры треугольник Рёло, что позволяет сразу получать вращательное движение.
• Грейферные механизмы кулачкового типа в большинстве случаев строятся на основе плоского кулачка с профилем треугольника Рёло. Наиболее известные примеры: кинопроекторы «Луч» и «Украина»^[5].

Вариации и обобщения

Линзообразный Δ-двухугольник, вращающийся внутри равностороннего треугольника

• Фигуры постоянной ширины можно определить как выпуклые фигуры, способные вращаться внутри квадрата, одновременно касаясь всех его сторон. Можно также рассматривать фигуры, способные вращаться, касаясь всех сторон некоторого ${\displaystyle n}$-угольника, например, правильного ${\displaystyle n}$-угольника. Такие фигуры называются роторами^[7].
  • Например, двуугольник, образованный пересечением двух одинаковых кругов с углом при вершине, равным ${\displaystyle \pi /3}$, является ротором равностороннего треугольника. Сверлом такой формы в принципе можно было бы сверлить треугольные отверстия без сглаженных углов.
  • Рассматривались фигуры вращающиеся внутри более общих фигур.^[8]

• У фигур постоянной ширины существуют многомерные аналоги, смотри Тело постоянной ширины.

Примечания

1. Guggenheimer H. W. Differential Geometry. — New York: Dover, 1977.
2. Коэффициент с номером k = 1 можно обнулить, поскольку это слагаемое отвечает только за положение фигуры на плоскости.
3. Rabinowitz S. A Polynomial Curve of Constant Width (англ.) // Missouri Journal of Mathematical Sciences. — 1997. — Vol. 9. — P. 23—27. Архивировано 17 июня 2009 года. Архивированная копия  (неопр.). Дата обращения: 1 марта 2018. Архивировано 17 июня 2009 года.
4. «Сверление квадратных отверстий Архивная копия от 25 мая 2012 на Wayback Machine» / Математические этюды
5. «Круглый треугольник Рело Архивная копия от 28 декабря 2009 на Wayback Machine» / Математические этюды
6. Часть из них вышла из обращения в 2019 году.
7. Helmut Groemer, Geometric Applications of Fourier Series and Spherical Harmonics
8. Л. А. Люстерник . Геометрическая задача // УМН. — 1946. — Т. 1, № 3-4(13-14). — С. 194—195.

Литература

• Яглом И. М., Болтянский В. Г. Выпуклые фигуры. — М.—Л.: ГТТИ, 1951. — 343 с. — (Библиотека математического кружка, вып. 4).