Крива́я постоя́нной ширины́  — плоская выпуклая кривая, длина ортогональной проекции (диаметр Фере) которой на любую прямую равна .

Thumb
Треугольник Рёло — кривая постоянной ширины. Стороны квадрата — опорные прямые: каждая сторона касается треугольника, но не пересекает его. Треугольник Рёло можно вращать, и при этом он всегда будет касаться каждой стороны квадрата; таким образом ширина треугольника (расстояние между двумя опорными прямыми) постоянна

Иными словами, кривой постоянной ширины называется плоская выпуклая кривая, расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми которой постоянно и равно  — ширине кривой.

Связанные определения

  • Фигурой постоянной ширины называется фигура, граница которой является кривой постоянной ширины.

Примеры

Thumb
Многоугольники Рёло
Thumb
Гладкая кривая постоянной ширины, построенная на базе треугольника и составленная из фрагментов шести сопряжённых окружностей. Ширина w = a + bc +2y, где a, b, c – стороны треугольника (a, b > c, y > 0)

Фигурами постоянной ширины, в частности, являются круг и многоугольники Рёло (частный случай последних — треугольник Рёло). Многоугольники Рёло составлены из фрагментов окружностей и не являются гладкими кривыми. Из сопряжённых фрагментов окружностей можно построить и гладкую кривую постоянной ширины (рисунок справа), но дальнейшее увеличение гладкости кривой на этом пути невозможно.

Функциональное представление

В отличие от приведенных выше простейших примеров, кривые постоянной ширины могут не совпадать с окружностью ни на каком конечном отрезке и быть везде сколь угодно гладкими. В общем виде фигура постоянной ширины c опорной функцией задаётся параметрическими уравнениями[1]


при условиях:

  1. полученная кривая является выпуклой.

Согласно элементарной тригонометрии, первому условию удовлетворяет ряд Фурье следующего вида:

[2].

Если коэффициенты ряда убывают достаточно быстро, то результирующая кривая будет выпуклой (без самопересечений).

В частности, опорная функция порождает кривую постоянной ширины, для которой найдено неявное представление в виде уравнения для полинома 8-й степени[3]

Эта кривая в окрестности любой точки является аналитической функцией либо от x, либо от y и ни в какой окрестности не совпадает с окружностью.

Свойства

  • У кривой постоянной ширины длина равна (теорема Барбье).
  • Центры вписанной и описанной окружностей кривой постоянной ширины совпадают, а сумма их радиусов равна ширине кривой.
  • Фигура постоянной ширины может вращаться в квадрате со стороной , всё время касаясь каждой из сторон.
  • Среди всех фигур данной постоянной ширины треугольник Рёло имеет наименьшую площадь, а круг — наибольшую.
  • Любую плоскую фигуру диаметра можно накрыть фигурой постоянной ширины .

Применения

Вариации и обобщения

Thumb
Линзообразный Δ-двухугольник, вращающийся внутри равностороннего треугольника
  • Фигуры постоянной ширины можно определить как выпуклые фигуры, способные вращаться внутри квадрата, одновременно касаясь всех его сторон. Можно также рассматривать фигуры, способные вращаться, касаясь всех сторон некоторого -угольника, например, правильного -угольника. Такие фигуры называются роторами[7].
    • Например, двуугольник, образованный пересечением двух одинаковых кругов с углом при вершине, равным , является ротором равностороннего треугольника. Сверлом такой формы в принципе можно было бы сверлить треугольные отверстия без сглаженных углов.
    • Рассматривались фигуры вращающиеся внутри более общих фигур.[8]

Примечания

Литература

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.