Условная сходимость

У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость.

Ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. То есть, если ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\sum _{n=0}^{m}a_{n}}$ существует (и не бесконечен), но ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|=\infty }$.

Примеры

Простейшие примеры условно сходящихся рядов дают убывающие по абсолютной величине знакочередующиеся ряды. Например, ряд

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2}$

сходится лишь условно, так как ряд из его абсолютных величин — гармонический ряд — расходится.

Свойства

• Если ряд условно сходится, то ряды, составленные из его положительных и отрицательных членов, расходятся.
• Путём изменения порядка членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, сходящийся к любой наперёд заданной сумме или же расходящийся (теорема Римана).
• При почленном умножении двух условно сходящихся рядов может получиться расходящийся ряд.

Вариации и обобщения

• Понятие условной сходимости естественно обобщается на ряды векторов, бесконечные произведения, а также на несобственные интегралы.

См. также

• Теорема Римана об условно сходящихся рядах
• Абсолютная сходимость
• Безусловная сходимость