Безусловная сходимость

В математическом анализе, ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ в банаховом пространстве X называется безусловно сходящимся, если для произвольной перестановки ${\displaystyle \sigma$ :\mathbb {N} \to \mathbb {N} } ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{\sigma (n)}}$ является сходящимся.

Свойства

• Если ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ является безусловно сходящимся, то существует единственный элемент ${\displaystyle x\in X,}$ такой, что ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{\sigma (n)}=x,}$ для произвольной перестановки ${\displaystyle \sigma$ :\mathbb {N} \to \mathbb {N} .}
• Произвольный абсолютно сходящийся ряд является безусловно сходящимся, но обратное утверждение является неверным. Однако, когда X = Rⁿ, тогда вследствие теоремы Римана, ряд ${\displaystyle \sum x_{n}}$ является безусловно сходящимся тогда и только тогда, когда он является абсолютно сходящимся.
• Если ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ — последовательность элементов гильбертова пространства H, то из безусловной сходимости ряда ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ следует ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lVert x_{n}\rVert ^{2}<\infty .}$

Эквивалентные определения

Можно дать несколько эквивалентных определений безусловной сходимости: ряд является безусловно сходящимся тогда и только тогда, когда:

• для произвольной последовательности ${\displaystyle (\varepsilon _{n})_{n=1}^{\infty }}$, где ${\displaystyle \varepsilon _{n}\in \{-1,+1\}}$, ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}}$ является сходящимся.
• для произвольной последовательности ${\displaystyle (\alpha _{n})_{n=1}^{\infty }}$, такой, что ${\displaystyle \sup _{n}|\alpha _{n}|<\infty }$, ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}x_{n}}$ является сходящимся.
• для произвольной последовательности ${\displaystyle 1\leq k_{1}<k_{2}<\ldots }$, ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{k_{n}}}$ является сходящимся.
• для произвольного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует конечное подмножество ${\displaystyle I\subset \mathbb {N} ,}$ такое, что ${\displaystyle \lVert \sum _{i\in J}x_{i}\rVert \,<\varepsilon }$ для произвольного конечного подмножества ${\displaystyle J\subset \mathbb {N} \setminus I}$

Пример

Пусть дано пространство ${\displaystyle l^{p}\,,}$ где ${\displaystyle 1<p<\infty }$ — банахово пространство числовых последовательностей с нормой ${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$. Рассмотрим в нём последовательность ${\displaystyle x_{n}=(0,\ldots ,{\frac {1}{n}},0,\ldots ),}$ где ненулевое значение стоит на n-м месте. Тогда ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ является безусловно сходящимся, но не является абсолютно сходящимся.

См. также

• Абсолютная сходимость
• Условная сходимость

Ссылки

• Попов Михаил. Геометрия банаховых пространств (недоступная ссылка)
• Christopher Heil. A Basis Theory Primer (англ.)
• Безусловная сходимость (англ.) на сайте PlanetMath.

Литература

• Банах С.С,, Курс функционального анализа (линейные операции) (недоступная ссылка), К.: Радянська Школа, 1948.
• Knopp, Konrad (1956). Infinite Sequences and Series. Dover Publications. ISBN 978-0486601533.
• Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. Dover Publications. ISBN 978-0486661650.
• P. Wojtaszczyk (1996). Banach Spaces for Analysts. Cambridge University Press . ISBN 978-0521566759 .