Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Уравнение Лондонов (в некоторых источниках — уравнение Лондона) устанавливает связь между током и магнитным полем в сверхпроводниках. Впервые оно было получено в 1935 году братьями Фрицем и Хайнцем Лондонами[1]. Уравнение Лондонов дало первое удовлетворительное объяснение эффекта Мейсснера — спадания магнитного поля в сверхпроводниках. Затем в 1953 году было получено уравнение Пиппарда для чистых сверхпроводников.
В полной мере смысл механизма упорядочения в сверхпроводимости был впервые осознан физиком-теоретиком Фрицем Лондоном[2]. Осознав, что электродинамическое описание, основанное исключительно на уравнениях Максвелла, в пределе нулевого сопротивления неизбежно будет предсказывать необратимое поведение идеального проводника и не будет давать обратимый диамагнетизм сверхпроводника, Лондон ввёл дополнительное уравнение. Вид этого уравнения можно получить различными способами, например, путём минимизации свободной энергии относительно распределения тока и поля[3] или в предположении абсолютной жёсткости сверхпроводящих волновых функций по отношению к воздействию внешнего поля; для наших целей, однако, достаточно считать его интуитивной гипотезой, полностью оправдываемой своим успехом.
Уравнение, предложенное Лондоном, имеет вид
где — плотность тока, — магнитная индукция, , m и q — масса и заряд сверхпроводящих носителей тока, n — плотность этих носителей.
При помощи уравнения Максвелла можно записать уравнение Лондона в виде[4]
где B′ — производная вектора B по времени t. Этому уравнению удовлетворяет B = const. Но такое решение не согласуется с эффектом Мейсснера — Оксенфельда, так как внутри сверхпроводника должно быть поле B = 0. Лишнее решение получилось потому, что при выводе дважды применялась операция дифференцирования по времени. Чтобы автоматически исключить это решение, Лондоны ввели гипотезу, что в последнем уравнении производную B′ следует заменить самим вектором B. Это даёт
Решение этого уравнения в сверхпроводящей области с линейными размерами, намного большими , есть
где — индукция на глубине под поверхностью. Параметр имеет размерность длины и называется лондоновской глубиной проникновения магнитного поля. То есть магнитное поле проникает в сверхпроводник лишь на глубину . Для металлов мкм.
Уравнение Лондона даёт ключ к пониманию природы сверхпроводящего упорядочения. Вводя векторный потенциал , где , используя калибровку и рассматривая односвязный сверхпроводник, мы приходим к уравнению Лондона в форме
В присутствии векторного потенциала обобщённый импульс заряженной частицы даётся выражением
Средний импульс на одну частицу можно записать в виде
Следовательно, сверхпроводящий порядок обусловлен конденсацией носителей тока в состоянии с наименьшим возможным импульсом . При этом из принципа неопределённости вытекает, что соответствующий пространственный масштаб упорядоченности бесконечен, то есть мы получаем бесконечную «когерентность» и невозможность воздействовать на систему электронов локализованными в пространстве полями.
Уравнение движения для единичного объёма сверхпроводящих электронов в электрическом поле имеет вид
где , , — соответственно концентрация, скорость и масса (сверхпроводящих) электронов. Вводя плотность сверхтока согласно, получим первое уравнение Лондонов:
Воспользуемся уравнениями Максвелла в виде
для нахождения объёмной плотности кинетической энергии сверхпроводящих электронов:
где
Также объёмная плотность магнитной энергии равна , тогда свободная энергия может быть записана в виде ( — свободная энергия без магнитного поля) интеграла по объёму сверхпроводника:
Первая вариация по полю равна
Учитывая, что второй интеграл равен нулю (по формуле Гаусса — Остроградского он сводится к интегралу по поверхности, где вариация полагается нулю), имеем
что вместе с выражением для векторного потенциала , первым уравнением Лондонов и выбором калибровки Лондонов , даёт искомое уравнение:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.