Теорема Какутани о неподвижной точке

Теорема Какутани о неподвижной точке — обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке на многозначные функции.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle S}$ — непустое компактное выпуклое подмножество евклидова пространства. Пусть ${\displaystyle \phi \colon S\to 2^{S}}$ — многозначная функция на ${\displaystyle S}$, такая, что множество ${\displaystyle \phi (x)\subset S}$ непусто и выпукло для всех ${\displaystyle x\in S}$, и имеет замкнутый график, то есть множество

${\displaystyle \{\,(x,y)\in S\times S\mid \,y\in \phi (x)\}}$

замкнуто в топологии прямого произведения ${\displaystyle S\times S}$. Тогда ${\displaystyle \phi (x)}$ имеет неподвижную точку, то есть существует точка ${\displaystyle x\in S}$ такая, что ${\displaystyle x\in \phi (x)}$.

График многозначной функции без неподвижных точек.

Замечание

Из следующего примера видно, что требование выпуклости множеств ${\displaystyle \phi (x)}$ существенно.

Зафиксируем достаточно маленькое положительное число ${\displaystyle \varepsilon }$ и рассмотрим функцию

${\displaystyle \varphi (x)=\{\,y\in [0,1]\mid |x-y|\geq \varepsilon \,\},}$

определенную на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$. Заметим, что множество ${\displaystyle \phi ({\tfrac {1}{2}})}$ не выпукло и эта функция не имеет неподвижной точки, хотя удовлетворяет всем остальным требованиям теоремы.

О доказательствах

• Теорему Какутани можно свести к теореме Брауэра аппроксимацией.

• Теорему Какутани можно вывести из леммы Шпернера аналогично теореме Брауэра.

История

Теорема доказана Сидзуо Какутани в 1941 году,^[1] чтобы доказать теорему о минимаксе в антагонистической игре.

Она была использована Джоном Нэшем при доказательстве существования равновесия Нэша в знаменитой двухстраничной статье^[2], которая принесла ему Нобелевскую премию по экономике.