Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Последовательность функций сходится почти всюду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, имеет нулевую меру[1].
Пусть — пространство с мерой, и . Говорят, что сходится почти всюду, и пишут -п.в., если[1]
Если есть вероятностное пространство, и — случайные величины, такие что
то говорят, что последовательность сходится почти наверное к [2].
Пусть — множество точек, где последовательность функций не сходится к .
По определению предела в попадают те и только те точки, в которых для некоторого из последовательности можно выбрать подпоследовательность, не попадающую в -окрестность значения . При этом можно приблизить некоторым положительным рациональным числом Формализуя вышесказанное:
Отметим, что при любом данное множество содержит следующее
1. Предположим, что последовательность сходится почти всюду, то есть мера равна нулю. Но для любого пересечение множеств — подмножество , так что мера этого пересечения в связи с полнотой меры также ноль. Но множества сужаются — непрерывность меры влечёт доказываемое равенство:
2. Обратно, пусть указанная в условии мера множеств стремится к нулю. Тогда эта мера конечна (хотя бы начиная с некоторого номера), и по свойству непрерывности меры при каждом положительном рациональном :
Значит, множество является объединением множеств меры ноль и в силу счётной-аддитивности меры само имеет меру ноль.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.