Loading AI tools
топологическое комплексное векторное пространство Из Википедии, свободной энциклопедии
-алгебра — банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей свойствам сопряжённого оператора.
Впервые были рассмотрены для применения в квантовой механике в качестве алгебр физически наблюдаемых объектов. Это направление исследований началось с матричной квантовой механики Вернера Гейзенберга и в более математически развитой форме с работ Паскуаля Йордана около 1933 года. Впоследствии Джон фон Нейман попытался установить общую структуру этих алгебр, создав серию работ о кольцах операторов. В этих работах рассматривался особый класс -алгебр, впоследствии ставший известным как алгебры фон Неймана. В 1943 году Израиль Гельфанд и Марк Наймарк, используя понятие вполне регулярных колец, дали общее определение -алгебр[1], с того момента -алгебры нашли широкое применение в алгебраических формулировках квантовой механики. Другой активной областью исследований стала классификация или определение степени возможной классификации для сепарабельных простых ядерных -алгебр.
Частным случаем -алгебры является комплексная алгебра над полем линейных непрерывных операторов на комплексном гильбертовом пространстве с двумя дополнительными свойствами:
Другой важный класс негильбертовых -алгебр составляют алгебры непрерывных функций на пространстве .
Согласно определению, данному Гельфандом и Наймарком-алгеброй называют[2], -алгебра определяется как банахова алгебра над полем комплексных чисел, для каждого элемента которой которой определено отображение со следующими свойствами:
Все эти свойства без -тожества определяют -алгебру (то есть -алгебра — это -алгебра с -тождеством). -тождество эквивалентно формуле:
-тождество является весьма сильным требованием, например, вместе с формулой спектрального радиуса из него следует, что -норма однозначно определяется алгебраической структурой:
Ограниченный оператор между -алгебрами и называется -гомоморфизмом, если для всех и из выполняется:
и для всех из выполняется:
В случае -алгебр, любой -гомоморфизм между -алгебрами является сжимающим, то есть ограниченным нормой . Кроме того, инъективный -гомоморфизм между -алгебрами является изометрическим. Эти свойства являются следствиями -тождества.
Биективный -гомоморфизм называется -изоморфизмом, и в этом случае и называются изоморфными.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.