Решение Казнера

Метрика Казнера (разработанная американским математиком Эдвардом Казнером в 1921 году^[1] и названная в его честь) — точное решение уравнений Эйнштейна. Описывает анизотропную Вселенную без материи (т. е. представляет собой вакуумное решение) и определена при размерности пространства-времени ${\displaystyle D>3}$. Имеет приложения в изучении гравитационного хаоса.

Метрика и условия Казнера

Метрика при размерности пространства-времени ${\displaystyle D>3}$ имеет вид

${\displaystyle {\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}}$,

где ${\displaystyle p_{j}}$ — набор из ${\displaystyle D-1}$ констант (коэффициенты Казнера). Она описывает пространство-время такое, что гиперповерхности постоянного времени плоские, однако расширяются или сокращаются с разной скоростью в разных направлениях в зависимости от значений ${\displaystyle p_{j}}$. Пробные частицы в этой метрике, чьи сопутствующие координаты отличаются на ${\displaystyle \Delta x^{j}}$, разделены физическим расстоянием ${\displaystyle t^{p_{j}}\Delta x^{j}}$.

Метрика Казнера является точным решением уравнений Эйнштейна в вакууме только если коэффициенты Казнера удовлетворяют следующим условиям:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{D-1}p_{j}=1,}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{D-1}p_{j}^{2}=1.}$

Первое условие задаёт плоскость, а второе — сферу, соответственно, искомый набор коэффициентов ${\displaystyle p_{j}}$ лежит на сфере, по которой они пересекаются. Таким образом, пространство решений лежит на сфере ${\displaystyle S^{D-3}}$.

Примечания

1. Kasner, E. "Geometrical theorems on Einstein’s cosmological equations." Am. J. Math. 43, 217–221 (1921).