Расслоение Хопфа

Расслоение Хопфа — пример локально тривиального расслоения трёхмерной сферы над двумерной со слоем-окружностью:

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\ p\,}}S^{2}}$.

Расслоение Хопфа графически представлено как обобщенная стереографическая проекция ${\displaystyle S^{3}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Рисунок показывает одинаковым цветом точки на ${\displaystyle S^{2}}$ (справа) и соответствующие им слои-окружности на стереографической проекции ${\displaystyle S^{3}}$ (слева).

Расслоение Хопфа не является тривиальным. Является также важным примером главного расслоения.

Одним из самых простых способов задания этого расслоения является представление трёхмерной сферы ${\displaystyle S^{3}}$ как единичной сферы в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, а двумерной сферы ${\displaystyle S^{2}}$ как комплексной проективной прямой ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$. Тогда отображение:

${\displaystyle p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2})}$

и задаёт расслоение Хопфа. При этом слоями расслоения будут орбиты свободного действия группы ${\displaystyle S^{1}}$:

${\displaystyle \theta$ :(z_{1},z_{2})\mapsto (\theta z_{1},\theta z_{2})} ,

где окружность представлена как множество единичных по модулю комплексных чисел:

${\displaystyle S^{1}=\{\theta \mid \theta \in \mathbb {C} ,\,|\theta |=1\}}$.

Обобщения

Совершенно аналогично, нечётномерная сфера ${\displaystyle S^{2n+1}}$ расслаивается со слоем-окружностью над ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$. Иногда это расслоение также называют расслоением Хопфа.

Также (помимо «комплексной») существуют вещественная, кватернионная и октавная версии таких семейств расслоений. Они начинаются соответственно с:

${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1}}$   (вещественная),

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}}$   (комплексная — собственно расслоение Хопфа),

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4}}$   (кватернионная),

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}}$   (октавная).

Такие расслоения сферы ${\displaystyle S^{n}}$, для которых и слой, и база, и тотальное пространство являются сферами, возможны только в случаях ${\displaystyle n\in \{1,3,7,15\}}$. Исключительность этих случаев связана с тем, что умножение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ без делителей нуля может быть определено только при ${\displaystyle n\in \{1,2,4,8\}}$.

См. также

• Сфера Римана — комплексная проективная прямая, базовое многообразие расслоения Хопфа
• Унитарная группа U(1) — структурная группа расслоения Хопфа
• Трехмерная сфера — тотальное пространство расслоения Хопфа
• Сфера Пуанкаре и сфера Блоха — расслоение Хопфа в физике описывает поляризацию поперечной волны, состояние двухуровневой квантовой системы, релятивистское искажение небесной сферы и прочее^[1][2]
• Сфера Милнора