Правильный 257-угольник

Правильный 257-угольник (двухсотпятидесятисемиугольник) — правильный многоугольник с 257 сторонами.

Правильный 257-угольник

Свойства

• Как и у всякого правильного многоугольника, у правильного 257-угольника все стороны имеют равную длину, все углы равны между собой, и все вершины лежат на одной окружности.
• Центральный угол составляет  ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{257}}\approx 1{,}4^{\circ }}$.
• Внутренний угол равен  ${\displaystyle {\frac {257-2}{257}}\cdot 180^{\circ }\approx 178{,}6^{\circ }}$.

Построение

Из теоремы Гаусса — Ванцеля следует, что 257-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки, так как ${\displaystyle 257=2^{2^{3}}+1}$ является простым числом Ферма.

Построение правильного 257-угольника. Синим отмечены этапы построения, зелёным — деления отрезков пополам, красным — окружности Карлейля и их параметры

Первое руководство по построению правильного 257-угольника было предложено Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году^[1].

В 1991 году Дюан Детампль предложил другой вариант построения при использовании 150 вспомогательных кругов^[2].

В 1999 году ещё одно решение проблемы было опубликовано Кристианом Готтлибом^[3].

Примечания

1. Friedrich Julius Richelot. De resolutione algebraica aequationis x²⁵⁷ = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata (лат.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1832. — Vol. 9. — P. 1—26, 146—161, 209—230, 337—358.
2. Duane W. DeTemple. Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygonal Constructions (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1991. — Vol. 98, no. 2. — P. 97—108. — doi:10.2307/2323939. (англ.)
3. Christian Gottlieb. The Simple and Straightforward Construction of the Regular 257-gon (англ.) // The Mathematical Intelligencer : journal. — 1999. — Vol. 21, no. 1. — P. 31—37.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. 257-угольник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.