Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Полином Жегалкина — многочлен над полем , то есть полином с коэффициентами вида 0 и 1, где в качестве произведения берётся конъюнкция, а в качестве сложения — исключающее или. Полином был предложен в 1927 году Иваном Жегалкиным в качестве удобного средства для представления функций булевой логики. В зарубежной литературе представление в виде полинома Жегалкина обычно называется алгебраической нормальной формой (АНФ).
Теорема Жегалкина — утверждение о существовании и единственности представления всякой булевой функции в виде полинома Жегалкина[1].
Полином Жегалкина представляет собой сумму по модулю два попарно различных произведений неинвертированных переменных, где ни в одном произведении ни одна переменная не встречается больше одного раза, а также (если необходимо) константы 1[1]. Формально полином Жегалкина можно представить в виде
или в более формализованном виде как
Примеры полиномов Жегалкина:
По теореме Поста, чтобы система булевых функций была полной, надо, чтобы в ней существовали:
Этому требованию отвечает, в частности, система функций (конъюнкция, сложение по модулю два, константа 1). На её основе и строятся полиномы Жегалкина.
По теореме Жегалкина каждая булева функция единственным образом представляется в виде полинома Жегалкина. Теорема доказывается следующим образом. Заметим, что различных булевых функций от n переменных штук. При этом конъюнкций от n переменных существует ровно 2n, так как из n возможных сомножителей каждый или входит в конъюнкцию, или нет. В полиноме у каждой такой конъюнкции стоит 0 или 1, то есть существует различных полиномов Жегалкина от n переменных. Теперь достаточно лишь доказать, что различные полиномы реализуют различные функции. Предположим противное. Тогда приравняв два различных полинома и перенеся один из них в другую часть равенства, получим полином, тождественно равный нулю и имеющий ненулевые коэффициенты. Тогда рассмотрим слагаемое с единичным коэффициентом наименьшей длины, то есть с наименьшим числом переменных, входящих в него (любой один, если таких несколько). Подставив единицы на места этих переменных и нули на места остальных, получим, что на этом наборе только одно это слагаемое принимает единичное значение, то есть нулевая функция на одном из наборов принимает значение 1. Противоречие. Значит, каждая булева функция реализуется полиномом Жегалкина единственным образом.
По сравнению с ДНФ в полиноме Жегалкина отсутствуют операции ИЛИ и НЕ. Таким образом, полином Жегалкина можно получить из ДНФ, выразив операции ИЛИ и НЕ через операции сложение по модулю два, и константу 1. Для этого применяются следующие соотношения:
Ниже приведён пример преобразования ДНФ в полином Жегалкина:
При преобразованиях использованы соотношения
СДНФ обладает тем свойством, что при любых значениях входных переменных в единицу обращается не более одного члена выражения. Для таких выражений операция дизъюнкции эквивалентна операции сложение по модулю два.
При преобразовании СДНФ в полином Жегалкина достаточно заменить все дизъюнкции на операции сложение по модулю два и избавиться от инверсий при помощи эквивалентного преобразования
Логическая функция трёх переменных , представленная в виде карты Карно, преобразуется в полином Жегалкина следующими шагами:
Метод треугольника (часто называемый методом треугольника Паскаля) позволяет преобразовать таблицу истинности в полином Жегалкина путём построения вспомогательной треугольной таблицы в соответствии со следующими правилами:
Метод треугольника основан на теореме, предложенной В. П. Супруном, не связанной напрямую с треугольником Паскаля. В 1985 году метод двоичного треугольника было предложено использовать для преобразования вектора значений совершенной дизъюнктивной нормальной формы в вектор коэффициентов полинома Жегалкина для произвольной симметрической булевой функции. В 1987 году метод был расширен для произвольной булевой функции. Отметим, что метод треугольника позволяет строить полином Рида — Маллера[англ.] с отрицательной поляризацией как для симметрических функций, так и для произвольных[источник не указан 2344 дня].
Наиболее экономным с точки зрения объёма вычислений и целесообразным для построения полинома Жегалкина вручную является метод быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Строим таблицу, состоящую из 2N столбцов и N + 1 строк, где N — количество переменных в функции. В верхней строке таблицы размещаем вектор значений функции, то есть последний столбец таблицы истинности.
Каждую строку полученной таблицы разбиваем на блоки (чёрные линии на рисунке). В первой строке блок занимает одну клетку, во второй строке — две, в третьей — четыре, в четвёртой — восемь и т. д. Каждому блоку в некоторой строке, который мы будем называть «нижний блок», всегда соответствует ровно два блока в предыдущей строке. Будем называть их «левый верхний блок» и «правый верхний блок».
Построение начинается со второй строки. Содержимое левых верхних блоков без изменения переносится в соответствующие клетки нижнего блока (зелёные стрелки на рисунке). Затем над правым верхним и левым верхним блоками побитно производится операция «сложение по модулю два», и полученный результат переносится в соответствующие клетки правой части нижнего блока (красные стрелки на рисунке). Эта операция проводится со всеми строками сверху вниз и со всеми блоками в каждой строке. После окончания построения в нижней строке оказывается строка чисел, которая является коэффициентами полинома Жегалкина, записанными в той же последовательности, что и в описанном выше методе треугольника.
![]() | В разделе не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
По таблице истинности легко вычислить отдельные коэффициенты полинома Жегалкина. Для этого нужно просуммировать по модулю 2 значения функции в тех строках таблицы, где переменные, отсутствующие в конъюнкции, принимают нулевые значения.
Предположим для примера, что нужно найти коэффициент при конъюнкции xz для функции трёх переменных f(x, y, z). В этой конъюнкции отсутствует переменная y. Найдём входные наборы, в которых переменная y принимает нулевое значение. Это наборы 0, 1, 4, 5 (000, 001, 100, 101). Тогда коэффициент при конъюнкции xz равен
Поскольку в свободном члене отсутствуют все переменные, то
Для члена, куда входят все переменные, в сумму входят все значения функции:
Представим графически коэффициенты полинома Жегалкина как суммы по модулю 2 значений функций в некоторых точках. Для этого построим квадратную таблицу, где каждый столбец представляет собой значение функции в одной из точек, а строка — коэффициент полинома Жегалкина. Точка на пересечении некоторого столбца и строки означает, что значение функции в данной точке входит в сумму для данного коэффициента полинома (см. рисунок). Назовём эту таблицу TN, где N — число переменных функции.
Существует закономерность, которая позволяет получить таблицу для функции N переменных, имея таблицу для функции N − 1 переменных. Новая таблица TN+1 компонуется как матрица 2 × 2 таблиц TN, причём правый верхний блок матрицы очищается.
Кополиномом Жегалкина называется формула вида
понимаемая с точностью до перестановки операндов у эквиваленции и дизъюнкции. Кополином Жегалкина по сути есть обычный полином над , роль умножения в котором играет дизъюнкция, а роль сложения — эквиваленция. Более формально, зададим на множестве структуру поля следующим образом: за умножение поля возьмём дизъюнкцию, за сложение — эквиваленцию. Тогда кополином Жегалкина будет обычным многочленом над таким полем. При этом, единицей в этом поле будет , а нулём — .
Несмотря на то, что с точки зрения теории булевых функций эти две нормальные формы равнозначны, кополином Жегалкина используется значительно реже, чем полином. Связано это с тем, что в стандартных обозначениях элементов булева множества и поля из двух элементов через и полиному Жегалкина соответствует обычный многочлен над полем, тогда как для кополинома Жегалкина требуется переобозначение элементов ( становится единицей поля, а — нулём).
Кополином Жегалкина — двойственная нормальная форма к полиному Жегалкина. Поэтому для его построения могут применяться все те же методы, что и для построения обычного полинома Жегалкина, видоизменённые в соответствии с двойственностью. Также, по принципу двойственности, задача построения кополинома Жегалкина может быть сведена к задаче построения полинома Жегалкина. Делается это следующим образом. Пусть нужно построить кополином Жегалкина для функции . Делаем следующее:
Аналогичным алгоритмом можно получить обычный полином Жегалкина из кополинома для двойственной функции, поменяв операции на двойственные. Ещё один способ перехода между полиномами и кополиномами Жегалкина — использование свойств булевых функций.
Для перехода от полинома к кополиному:
Для перехода от кополинома к полиному:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.