Неподвижная точка

Неподвижная точка в математике — точка, которую заданное отображение переводит в неё же, иными словами, решение уравнения ${\displaystyle f(x)=x}$. Иногда такую точку называют инвариантной [по названию соответствующего у неё свойства].

Отображение с тремя неподвижными точками

К примеру, отображение ${\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+3}$ имеет неподвижные точки ${\displaystyle x=1}$ и ${\displaystyle x=3}$, поскольку ${\displaystyle f(1)=1}$ и ${\displaystyle f(3)=3}$.

Неподвижные точки есть не у всякого отображения: скажем, отображение ${\displaystyle f(x)=x+1}$ вещественной прямой в себя неподвижных точек не имеет.

Точки, возвращающиеся в себя после определённого числа итераций, то есть, решения уравнения

${\displaystyle f(f(\dots f(x)\dots ))=x}$,

называются периодическими (в частности, неподвижные точки — это периодические точки периода ${\displaystyle 1}$).

Притягивающие неподвижные точки

Шаги метода простой итерации ${\displaystyle x_{n+1}=\cos(x_{n})}$ с начальным значением ${\displaystyle x_{1}=-1}$. Пределом является число Дотти.

Неподвижная точка ${\displaystyle x=f(x)}$ отображения ${\displaystyle f}$ — притягивающая, если результат последовательного применения ${\displaystyle f}$ к любой точке ${\displaystyle y}$, достаточно близкой к ${\displaystyle x}$, будет стремиться к ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \underbrace {f(f(\dots f(y)\dots ))} _{n}\rightarrow x,\quad n\rightarrow \infty }$.

При этом обычно требуют, чтобы результат каждой итерации не покидал некоторой большей окрестности точки ${\displaystyle x}$, то есть чтобы точка ${\displaystyle x}$ была асимптотически устойчива.

В частности, достаточным условием, чтобы точка была притягивающей, является условие ${\displaystyle |f'(x)|<1}$.

Метод Ньютона

Одним из применений идеи притягивающей неподвижной точки является метод Ньютона: решение уравнения оказывается притягивающей неподвижной точкой некоторого отображения — и потому может быть найдено как предел очень быстро сходящейся последовательности чисел, полученных его повторным применением.

Наиболее известным примером применения этого метода является нахождение квадратного корня из числа ${\displaystyle a\geqslant 0}$ как предела итераций отображения

${\displaystyle f(x)={\cfrac {x+{\frac {a}{x}}}{2}}}$.

См. также

• Теорема Банаха о неподвижной точке
• Теорема Брауэра о неподвижной точке
• Особая точка дифференциального уравнения
• Теорема Шаудера — Тихонова
• Комбинатор неподвижной точки
• Теорема Клини о неподвижной точке
• Теорема о неподвижных точках нормальных функций^[англ.]

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976. — Гл. 2, п. 4.
• Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. — М.: Наука, 1975. — Гл. 5.
• Agarwal R. P., Meehan M., O’Regan D. Fixed Point Theory and Applications. — Cambridge University Press, 2001. — ISBN 0-521-80250-4.
• Borisovich Yu. G., Gel’man B. D., Myshkis A. D., Obukhovskii V. V. Multivalued mappings // Journal of Soviet Mathematics, 1984. — Vol. 24, Issue 6, pp 719—791.
• Fitzpatrick P. M., Petryshyn W. V. Fixed point theorems for multivalued noncompact acyclic mappings // Pacific Journal of Mathematics, 54:2, 1974.
• Шашкин Юрий Алексеевич, Неподвизжные Точки. — М.: Наука, 1989.