Особая точка (дифференциальные уравнения)

Для термина «особая точка» см. также другие значения.

В математике особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.

В любой малой окрестности фазового пространства, не содержащей особых точек, векторное поле можно выпрямить подходящей заменой координат — тем самым, поведение системы вне особых точек устроено одинаково и очень просто. Напротив, в окрестности особой точки система может обладать очень сложной динамикой. Говоря о свойствах особых точек векторных полей, обычно подразумевают свойства соответствующей системы в малой окрестности особой точки.

Особые точки векторных полей на плоскости

Простейшими примерами особых точек являются особые точки линейных векторных полей на плоскости. С понятием векторного поля на плоскости можно связать линейную систему дифференциальных уравнений вида:

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$,

где ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2})}$ — точка на плоскости, ${\displaystyle A}$ — матрица ${\displaystyle 2\times 2}$. Очевидно, точка ${\displaystyle x=(0,0)}$ в случае невырожденной матрицы ${\displaystyle A}$ является единственной особой точкой такого уравнения.

В зависимости от собственных значений матрицы ${\displaystyle A}$, различают четыре типа невырожденных особых точек линейных систем: узел, седло, фокус, центр.

Тип собственных значений	Собственные значения на комплексной плоскости	Тип особой точки	Тип фазовых траекторий	Вид фазовых траекторий
Чисто мнимые		Центр	окружности, эллипсы
Комплексные с отрицательной действительной частью		Устойчивый фокус	Логарифмические спирали
Комплексные с положительной действительной частью		Неустойчивый фокус	Логарифмические спирали
Действительные отрицательные		Устойчивый узел	параболы
Действительные положительные		Неустойчивый узел	параболы
Действительные разных знаков		Седло	гиперболы

См. также

• Теорема Пуанкаре о векторном поле