Олоид

Олоид — трёхмерный криволинейный геометрический объект, открытый Полом Шатцем^[англ.] в 1929 году. Это выпуклая оболочка каркаса, сделанного из двух соединённых конгруэнтных окружностей в перпендикулярных плоскостях так, что центр каждой окружности лежит на другой окружности. Расстояние между центрами окружностей равно радиусу окружностей. Одна треть периметра каждого круга лежит внутри выпуклой оболочки, поэтому одна и та же форма может быть также сформирована как выпуклая оболочка двух оставшихся круглых дуг, каждая из которых охватывает угол 4π / 3.

Структура олоида. Показаны два 240-градусных круговых сектора и выпуклая оболочка.

Развёртка олоида

Площадь поверхности и объём

Площадь поверхности олоида, вычисляемая по формуле^[1]:

${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$,

что равняется площади поверхности сферы равного радиуса.

Объём олоида в окончательном виде вычисляется по формуле^[1][2]:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\left(2E\left({\frac {3}{4}}\right)+K\left({\frac {3}{4}}\right)\right)r^{3}}$,

где K и E означают полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно. Численный расчёт даёт:

${\displaystyle V\approx 3.0524184684r^{3}}$

Кинетика

Видео катящегося олоида, снятое Немецким музеем в Мюнхене

Во время качения каждая точка поверхности олоида касается плоскости, по которой она катится^[1]. В отличие от большинства аксиально-симметричных объектов (цилиндр, сфера и т. д.), при качении на плоской поверхности его центр масс движется по траектории меандра, а не линии. При каждом обороте расстояние между центром массы олоида и поверхностью качения имеет два минимума и два максимума. Разница между максимальной и минимальной высотой определяется формулой:

${\displaystyle \Delta h=r\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}-{3}{\frac {\sqrt {3}}{8}}\right)\approx 0.0576r}$

где r — радиус дуги олоида. Поскольку эта разница довольно маленькая, движение олоида достаточно плавное. В каждой точке во время этого движения качения олоид касается плоскости в сегменте линии. Длина этого отрезка остается неизменной по всему движению и определяется выражением^[1][3]:

${\displaystyle l={\sqrt {3}}r}$

Связанные формы

Сравнение олоида (слева) и сферикона (справа) в SVG изображении. Щёлкните по изображению для просмотра анимации.

Сферикон — выпуклая оболочка двух полукругов в перпендикулярных плоскостях с центрами в одной точке. Его поверхность состоит из кусков четырёх конусов. Он похож на олоид и, подобно ему, представляет собой развитую поверхность, которая может быть разработана путем прокатки. Однако его экватор представляет собой квадрат, в отличие от экватора олоида, который углов не имеет.

Примечания

1. Dirnböck, Hans; Stachel, Hellmuth (1997), "The development of the oloid" (PDF), Journal for Geometry and Graphics, 1 (2): 105—118, MR 1622664 Архивная копия от 24 августа 2018 на Wayback Machine.
2. OEIS A215447 Архивная копия от 13 сентября 2017 на Wayback Machine, OEIS A215447
3. Kuleshov, Alexander S.; Hubbard, Mont; Peterson, Dale L.; Gede, Gilbert (2011), "Motion of the Oloid-toy", Proc. 7th European Nonlinear Dynamics Conference, 24–29 July 2011, Rome, Italy (PDF), Архивировано из оригинала (PDF) 28 декабря 2013, Дата обращения: 13 сентября 2017 Архивная копия от 28 декабря 2013 на Wayback Machine.

Ссылки

• Rolling oloid Архивная копия от 24 августа 2018 на Wayback Machine, снято Швейцарским научным центром Technorama, Винтертур.
• Paper model oloid Архивная копия от 31 августа 2017 на Wayback Machine. Сделай собственный олоид.
• Меш олоида и код для его генерации.
• Олоид: математически совершенное произведение искусства  (неопр.). Популярная механика. popmech.ru. Дата обращения: 13 сентября 2017. Архивировано 17 сентября 2017 года.