Однолистная функция

Однолистная функция — комплексная функция ${\displaystyle f(z)}$, голоморфная или мероморфная в области ${\displaystyle A\in \mathbb {C} }$ и являющаяся биективным отображением между множеством ${\displaystyle A}$ и его образом ${\displaystyle f(A)}$^[1].

Аналитическая функция ${\displaystyle f}$ локально однолистна в точке ${\displaystyle z_{0}}$, если существует некоторая окрестность ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$, где ${\displaystyle f}$ однолистна (то есть ${\displaystyle f'(z_{0})\neq 0}$). Максимальная область однолистности для функции ${\displaystyle f(z)}$ — это область ${\displaystyle A\subset \mathbb {C} }$, в которой ${\displaystyle f(z)}$ однолистна, но в любой области ${\displaystyle A'\supset A}$ функция уже не является однолистной.

Принцип однолистности: функция ${\displaystyle f}$, аналитичная в области ${\displaystyle G}$, которая продолжается непрерывно на жорданову кривую ${\displaystyle \partial G}$ и осуществляет взаимно однозначное отображение ${\displaystyle \partial G}$ на ${\displaystyle f(\partial G)}$, однолистна в ${\displaystyle G}$.

Примеры

Функция ${\displaystyle f:z\mapsto 2z+z^{2}}$ является однолистной в открытом единичном круге: из ${\displaystyle f(z)=f(w)}$ следует, что ${\displaystyle f(z)-f(w)=(z-w)(z+w+2)=0}$, и так как ${\displaystyle \left\vert z+w\right\vert <2}$, то ${\displaystyle f(z)=f(w)}$ лишь при ${\displaystyle z=w}$.

См. также

• Гипотеза Бибербаха
• Вариация однолистной функции
• Многозначная функция

Примечания

1. Дженкинс, 1962, с. 7.

Литература

• Дженкинс, Дж.. Однолистные функции и конформные отображения / пер. с англ. В. П. Хавина. — М.: Издательство иностранной литературы, 1962.
• Милин, И. М. Однолистные функции и ортонормированные системы. — М.: Наука, 1971.