Обыкновенное дифференциальное уравнение
функциональные уравнения, содержащие производные функций одной переменной / Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Уважаемый Wikiwand AI, давайте упростим задачу, просто ответив на эти ключевые вопросы:
Перечислите основные факты и статистические данные о Обыкновенное дифференциальное уравнение?
Кратко изложите эту статью для 10-летнего ребёнка
Обыкновенное дифференциальное уравне́ние (ОДУ) — дифференциальное уравнение для функции от одной переменной (этим оно отличается от уравнения в частных производных, где неизвестная — функция нескольких переменных.) Таким образом, ОДУ — уравнения вида
где — неизвестная функция (возможно, вектор-функция, тогда , как правило, тоже вектор-функция со значениями в пространстве той же размерности; в этом случае говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по . Число (порядок старшей производной, входящей в данное уравнение) называется порядком дифференциального уравнения (1).
Независимая переменная часто интерпретируется (особенно в дифференциальных уравнениях, возникающих в физических и других естественно-научных задачах) как время, поэтому её часто обозначают буквой . Переменная — некоторая величина (или совокупность величин, если является вектор-функцией), изменяющаяся со временем. Например, может означать набор координат точки в пространстве; в этом случае уравнение (1) описывает движение точки в пространстве, то есть изменение её координат с течением времени. Независимая переменная обычно принимает вещественные значения, однако рассматриваются и дифференциальные уравнения, в которых переменная комплексная (так называемые уравнения с комплексным временем).
Наиболее часто встречаются дифференциальные уравнения вида
в которых старшая производная выражается в виде функции от переменных и производных порядков меньше Такие дифференциальные уравнения называются нормальными или разрешёнными относительно производной.
В противоположность уравнениям вида (2), дифференциальные уравнения вида (1) называются уравнениями, не разрешёнными относительно производной или неявными дифференциальными уравнениями.
Классическим решением дифференциального уравнения (2) называется раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительное условие. Начальным условием для уравнения (2) называется условие
где — некоторое фиксированное значение независимой переменной (фиксированный момент времени), а и — соответственно, фиксированные значения функции и всех её производных до порядка включительно. Дифференциальное уравнение (2) вместе с начальным условием (3) называется начальной задачей или задачей Коши:
Теорема существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения описывает совокупность всех решений обыкновенного дифференциального уравнения. Является основным теоретическим положением при изучении обыкновенных дифференциальных уравнений.[1]
Теорема Пикара утверждает, что при достаточно общих ограничениях на функцию , стоящую в правой части уравнения (2), задача Коши для этого уравнения имеет единственное решение, определённое на некотором интервале оси времени , содержащем начальное значение (этот интервал, вообще говоря, может не совпадать со всей осью). Основные задачи и результаты теории дифференциальных уравнений: существование и единственность решения различных задач для ОДУ, методы решения простейших ОДУ, качественное исследование решений ОДУ без нахождения их явного вида.
Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров формулирует зависимость свойств решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров этих уравнений.